文档介绍：高等数学知识要点整理————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 高等数学知识要点整理第一章函数、极限、连续重要的等价无穷小量代换两个重要极限各类无穷小的定义幂指函数的相关结论则当时,以下各函数趋于的速度:渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线若,或,则是曲线的一条斜渐近线。(一般的都有斜渐近线)极限的定理设,那么:(1) (2) (3)(4) ①在与都存在的条件下才有②若与中一个存在一个不存在,则有结论不存在③若与中两个都不存在,那么与可能两个都不存在,或者一个存在一个不存在,但绝对不会两个都存在。不能将关于间断点第一间断点:可去间断点,跳跃间断点(左、右极限都存在)第二间断点:无穷间断点,振荡间断点(左、右极限至少一个不存在)相关性质:①设在处有跳跃间断点,则在任意一个包含在其内部的区间上,必不存在原函数函数的性质一切初等函数在其定义区间都是连续的。有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界性且一定能取得它的最大值和最小值第二章一元函数微分学导数的定义二阶导数复合函数的可导性判断若在处可导,在处连续但不可导,则当时在处不可导,当时,在处可导,且反函数的求导法则设的反函数,两者皆可导,且则反函数的二阶求导微分的定义设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果增量那可表示为:其中全微分的近似计算费马定理若在处可导且取极限,且取得极值,则罗尔定理如果函数满足(1)在闭区间上连续(2)在开区间内可导(3)在区间端口处的函数值相等,即那么在内至少有一点(),使得介值定理设函数在闭区间上连续,且在这区间的端口取不同的函数值:及那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间内至少有一点,使。零点定理设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使=0拉格朗日中值定理如果函数满足(1)在闭区间上连续(2)在开区间内可导那么在内至少有一点(),使等式柯西中值定理若函数及满足在上连续,在上可导,则对任一,,那么在内至少存在一点,使函数的单调性与曲线的凹凸性定理1:设函数在上连续,在内可导(1)如果在内,那么函数在上单调递增(2)如果在内,那么函数在上单调减少定理2:设函数在上连续,在内具有一阶与二阶导数(1)若如果在内,则在上的图形是凹的。(2)若如果在内,则在上的图形是凸的。定理3:(第二充分条件)设函数在处具有二阶导数且则当,函数在处取得极大值当,函数在处取得极小值连续导数定理设在处连续,在的某去心邻域内可导,并设存在且等于,则亦存在且等于第三章一元函数积分学利用定积分的定义求极限定积分的导数牛顿-莱布尼兹公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则分部积分法上连续且为奇函数积分的性质上连续且为偶函数定积分的三角公式(是[0,1]上的连续函数)三角代换被积函数中含有常用代换被积函数中含有常用代换被积函数中含有常用代换注:原函数的奇偶性、周期性定理1若连续函数是上的奇(偶)函数,则是偶(奇)函数推论1奇函数的原函数是偶函数,注意:当为奇函数时,也是偶函数偶函数的原函数等于唯一的奇函数和一个任意常数之和。定理2设是上的连续周期函数,且周期为,是它在上的一个原函数,则下列条件等价:(1)是上的周期函数;(2)是上有界;(3)对任意实数,有推论2若是上的连续周期函数,是它在上的一个原函数,且也是周期函数,则与有相同的周期推论3若是上的连续周期函数,其周期为,是它在上的一个原函数,则是上一个以为周期的周期函数,即可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和定理3设是以为周期的连续函数,则以为周期的充要条件是定积分中值定理如果函数在积分区间上连续,则在上至少有一点,使函数的平均值旋转体的体积由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形,绕轴旋转一周而成的立体故由连续曲线、直线、与轴所围成的曲边梯形,绕轴旋转一周而成的立体故或泰勒中值定理如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任一,存在:其中:(是与之间的某个值)佩亚诺型余项:拉格朗日型余项:带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式