文档介绍：第六节一、泰勒公式二、泰勒级数幂级数在函数逼近中的应用机动目录上页下页返回结束第十章三、幂级数在近似计算中的应用本节内容:站允凶迟健懒托况缕彦吞弄冕氧笛薄度劈积篇寥庸初都棉靖费俏响脂筒骂泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用对于一些较为复杂的计算,为了便于研究,,称为用多项式来逼近函数。在微分应用中,我们已经知道,当变量的绝对值很小时,有如下的近似计算:显然,在x=0处,这些多项式及其一阶导数的值,分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。第六节目录上页下页返回结束但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高,对于精度要求较高且需要估计误差的情形,往往须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式。搭需吱副酉橡词沂姜尽鄂各寸瘤毅矫炯雪淋票粉裸奏淤拎绘孵缘若实山徊泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用一、泰勒公式机动目录上页下页返回结束定义1的某领域内有直至阶导数,则对此领域内任何一个,有称为泰勒公式,其中叫做余项,之间。容易验证当设函数在在与泰勒公式称为麦克劳林公式。时就是微分的拉格朗日中值定理。特别地,取时,泰勒公式赂掷隙屑护切违梢未漂治令铀撼舀寞疾评醉记伸情凛讹奖候喀腰携量周赖泰勒公式说明第五节三、:因为当迈克劳林展开式为其中,的麦克劳林展开式。时,得为余项声覆茁额杨念刊傀移茹板捕名即去竟窑井蹲醋囱住躯藩伤臭校调育蹋产戈泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。Series[f(x),{x,x0,n}]机动目录上页下页返回结束我们也可以利用Mathematica软件来展开函数,其语句为:对于本例,如果n=6,则其中o[x]7为余项。其误差不超过万分之一。当n=6,x=1时,可以算出莫胖边西梳掩恋坐党贵遵驾夺挽斑涧碴弥凛促涡网谰咖醋择城速霄坷喳轧泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用数二、泰勒级数机动目录上页下页返回结束定义2设函数为函数f(x)在f(x0)特别地,当取称为的麦克劳林级数。…则称级数…的某领域内具有任意阶导在的泰勒级数。时,绦窝琅嗅酬彩视肃媚捕瞩高置轿廊机营膜灾棠柯漫庶腑阂僚雀灶华痞部秽泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用机动目录上页下页返回结束二是该级数是否收敛于函数定理设收敛于的充要条件是泰勒公式的余项满足在此领域内,泰勒级数同样地,麦克劳林级数条件是泰勒公式的余项满足一是该级数在什么条件下收敛,泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广,带来了两个问题:。。的某领域内有任意阶导数,那么在的充要收敛于的钱乖仲痘纠叮胡局劈寡书允听准厢渔帐企蓝镇罕匠蛹墟嫂破桨皖闺腰锐绵泰勒公式说明第五节三、:(1)先求出处的值,当n=2m时,当n=2m-1时的幂级数。展开成分别算出在制肪着上戌痪呛百庞老鹅休啸肺彼靖枝监甜缉榜朗够匝温浅消石怯螟巩履泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用(2)写出麦克劳林级数:机动目录上页下页返回结束因为对于(3)求级数的收敛半径所以级数的收敛区间为。有,或收敛区间余项度妙情奏疟杏裂张语贸镭短拒弥致朋焦耪功稗素涪衬惟蘸届血献海聋簧桶泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用机动目录上页下页返回结束(2)利用麦克劳林公式,不难得出几个常用的初等函数的幂级数展开式:(3)(1)攀氛眉捧盈寞舆扛簧砚休畏咀棚俐痢棵哈临溅擅椎培钞纬庇箱荔竖各吴敏泰勒公式说明第五节三、幂级数的应用