文档介绍：第卷第期经济数学
年月
奇异半线性非局部反应扩散方程
问题局部解的存在性‘
彭大衡王海燕
湖南大学数学与计量经济学院,长沙,
摘要本文讨论如下初值问题局部解的存在性
玉厌一口乙“。孟,,,,,,孟·,。,。
,二, 〔
,。
其中,又,》。,妻,,连续有界非负但不恒等于零,△是维叩算子,所得结论推
广了文鼓〔,〕的相应结果
关键词奇异半线性反应扩散方程,非局部,局部解
一、引言及结论
本文讨论如下初值问题
蔽汾一口乙“
。一亡,,,,之二,,,。,·
,劣, 任
其中。,几,,,,连续有界非负但不恒等于零,。是维算
子对奇异半线性热方程的初值问题
孤决一。乙, ,
,, 任尺
。
「一〕证明了其局部经典解的存在性当。时,〕得到了整体解的存在唯一性及解的
增长性众所周知,问题或均源自经典的型反应扩散方程的初值问题,〕
撇念一乙, ,任
, 必二, 〔
近几年来,初值问题的一种推广情形一非线性源具有非局部特征的情形,得到不少作者的
关注,例如可参考「一。〕本文旨在考虑当扩散项乙前具有奇异系数‘,而同时反应项
“·,工前具有斗。局部因子、“盒,,,,人时,问题的局部解的存在,·
引人半群型发展算子如下任给曰任户勺簇镇,必二
, 收稿日期一一
第期彭大衡王海燕奇异半线性非局部反应扩散方程问题局部解的存在性一一
一丁、,一,必‘,,,其中,,一‘”,一一‘‘“,·
当。时,问题对应的积分方程为
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其中
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‘
当。且。并时,问题对应的积分方程为
“,,二一。,,必一右,二犷,,
其中
曰,,一一“‘,一‘,,,一黑丁一“,,一‘,,,‘·
右二‘一‘一,叮,且共
定义称满足的,是。时的弱解称满足的,是。且。共
时的弱解
本文的结论是
定理设连续函数任’门入,且不恒等于零
当。时,若存在,使得
、,一,,‘一,二‘工,,,一·,一‘,, ,
则存在局部弱解,,且
“,,二、一二
〔卜,一、丁二丁’,一‘‘才一·一·一
当且。护时,若存在,使得
犷,一‘,‘·一‘,一·一·, ,
则存在局部弱解,,且
·,,、‘·一‘,,,·
一,一,犷且二丁‘了卜‘·一‘一·〕一
注意到镇二,
与的左端均不超过
一瑟’
因此可得如下结果
推论设连续函数任’门入,且不恒等于零,若存在
使得
二厂一“‘,二。一。八。二,,,一,一,。·
气、、—孟,
寸
则存在局部弱解。
经济数学第卷
二、定理的证明
分且共与。两种情况证明
,当。且。笋时,令
一〔一,一,、一一,‘‘·一‘‘,,,,,一·,一‘〕一
则且
,,一,、、,,‘·一‘才,,一·,一⋯,,·
于是
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令
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,任,任仁。,
其中必,如所定义对任给的,任,定义映射如下
。,,二一必,,二户二一,几,户,·,二、
尺’
显然,对任给〔〔,,,