文档介绍：一、向量组的秩例考虑线性方程组???????????0330220)I(yxyxyx???????????03020)II(yxyxyx它们的系数行向量分别如下),(),(),(332111,)3,3()2,2()1,1(321321????????????这两组向量有不同的线性相关性:线性相关,且其中任意两个向量都线性相关。在平面上,相互共线。方程组(I)的三个方程确定三条过原点且相互重合的直线。321,,???321,,???线性相关,但其中存在两个向量线性无关,例如。在平面上,不共线。方程组(II)的三个方程确定三条过原点但前两条不平行的直线。321,,???21,??21,??上例似乎表明,这两个向量组线性相关程度的不同决定了它们对应的方程组(I)与(II)有不同的性质:对向量组而言,其线性无关的程度为2,而方程组(II)的解中自由未知数的个数为321,,???2(未知数个数) - 2 = 0 对向量组而言,其线性无关的程度为1,而方程组(I)的解中自由未知数的个数为321,,???2(未知数个数) - 1 = 1 两个辅助概念定义设是m个n元向量。若其中存在r个向量线性无关,但任意 r +1个向量都线性相关,则称向量组? 1, ? 2, …, ? m 的秩为 r,记为m???,...,,21秩{? 1, ? 2, …, ? m }或 r{? 1, ? 2, …, ? m } 例 4元基本向量组)1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321????????的秩为___。例向量组的秩为___。)(????????,,定理向量组? 1, ? 2, …, ? m 线性相关的充分必要条件是:秩{? 1, ? 2, …, ? m } < m。定义设向量组? 1, ? 2, …, ? m 的秩为 r,则? 1, ? 2, …, ? m 中任意 r 个线性无关的向量都称为向量组? 1, ? 2, …, ? m 的极大线性无关部分组,简称为极大无关组。性质向量组与其任一极大无关组都等价,等价的向量组的极大无关组也等价。例考虑齐次线性方程组???????????0330220yxyxyx它的系数矩阵???????????321???A的行向量组为)3,3()2,2()1,1(321??????,,因为秩{? 1,? 2,? 3}= 1,且? 1线性无关,故? 1是一个极大无关组。所以,? 2与? 3均可由? 1线性表出。于是,方程组中后两个方乘可视为多余方程。从原方程组中删去多余方程,得到原方程组的同解方程组0??yx定理若向量组可由向量组线性表出,则s???,,,21?,,21??t?,?秩{ } 秩{ }s???,...,,21t???,...,,21?证明只需证明向量组的极大无关组包含的向量个数不大于向量组的极大无关组包含的向量个数。s??,,1?t??,,1?设是的极大无关组,则可由线性表出。设是的极大无关组,则可由线性表出。11,,rii???s??,,1?s??,,1?21,,rjj???t??,,1?t?,?21,,rjj???,1i?1,ri??,1?又可由线性表出,故可由线性表出,而线性无关,所以。▌s??,,1?t??,,1?11,,rii???21,,rjj???11,,rii???21rr?定义’设是向量组的一个部分组。若riii???,...,,21m???,...,,21(1)线性无关;riii???,...,,21(2)每个( j = 1, 2, …, m)均可由线性表出,j?riii???,...,,21则是向量组的一个极大无关组。riii???,...,,21m???,...,,21