文档介绍：第卷第期经济数学
年月〔
层次分析的广义梯度特征向量法
章志敏赵继超
曲阜师范大学,曲阜,泰安师范专科学校,泰安,
摘要在层次分析中提出了一种广义梯度特征向童法,并给出它的标准形,讨论了和其它排序方法的关系
关键词层次分析,广义梯度特征向童法,标准形
引言
层次分析尸是一种应用广泛的多准则决策方法,其关键步骤是通过对所有元素的
两两比较,得到判断矩阵,并由判断矩阵导出排序权值自提出特征向量排序法以
事,游伯龙又提出了梯度特征向量排序法,王连芬将上、下三角元素结合使用,求出的
排序权值具有更好的效果〔
上述排序算法均以判断矩阵,,为基础。众所周知久,表示了元素与元素的直接
比较信息,。罗一****汽,则表示了元素‘与元素的直接比较信息和元素,,通过元素与元
素的间接比较信息,因此,二罗比具有更多的信息,类似地矛护,“护****br/> 召‘’矛走
“、‘⋯“,给出了元素与的直接比较和各种间接比较的综合信息。
二广义梯度特征向量排序法
设判断矩阵二,构造矩阵二瓦,,其中
‘
‘
句了
一、犷,,镇
矛二
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其中犷,一云、,,·,⋯‘,,一二,⋯,,了’是待定的排序向量。
心上“‘省乏
求的右主特征向量,即二又
切,
二”二, 二,切
其中的第行与二,,⋯,相乘得
”切。二凡。切”
收稿日期一一
经济数学第卷
即凡以二由此,解上述特征方程有
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令。,将二二,⋯。了’归一化,即得所求的排序权值由上述方法得到的排序向量
称为广义梯度特征向量法。
年,证明了判断矩阵月可分解为二。,其中是用特征向量法求
出排序向量二,⋯,了’,构造的一致性矩阵竺,二****二****称为标
准形,我们在〔」中证明了其它排序方法的乘积的分解,下面给出的
乘积的分解。
定义设内,若勺。,匆二外,则称为正互反矩阵,全体正互反矩阵的集合
记为从户
定义设’任几九才,若、。,,,,则称为一致性矩阵,全体一致性矩阵
的集合,记为从,·
定义设一。〔嶙,若****一,则称为标准形,全体标准形的集合,记为
。
构造矩阵,少当艺时,气华矿一‘当时,,,二当时,戈
矿一’华显然气〔从户
定理设二气是上述正互反矩阵,则存在标准形,使。,共中是用
求得排序向量二一‘叭”’叭”’,构造的一致性矩阵一黔·
证存在性对任风才,用,即递推公式
功
, 二一,⋯,
、一女。,二,
—一
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卜叨
、月。一,。切,
求出二,⋯,。了几显然为一致性矩阵,
令,即二。,其中仓,、,淤代人递推公式即得
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整理后得兄。二二一,所以二。为标准形
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唯一性设有两组解。二二,,⋯,二,,”,丽二丽,,⋯,虱“’,我们用归纳法证明叭一叭
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因,一,。二,故得屺夕。一一粉·设”一‘‘时,有,二二。当一,即
第期章志敏层次分析的广义梯度特征向量法
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又万奋砂是标准形,即****舀。一坳一由此得
书一去一‘,亦即粉
三、结论
当是一致性矩阵时,八, 卜****‘⋯、少,,即,广义梯度特征向量法
即梯度特征向量法又为一致性矩阵,则标准形,,云、一********一一‘,
‘
这时、求出的排序向量是相同的
犷,
求出的排序权值具有累积优势度,即‘弋二二二甲一,,⋯,求出的
奋。兄分,
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排厅仪沮也县有系积仇分反’一石二万了豪介一’
综上分析,当为一致性矩阵时,各种排序方法求出的排序权值是相同的,但即
方法更为简洁当不是一致性矩阵时, 称具有累积优势度,即排序权值
中反映了元素间的直接比较的综合信息
参考文献
〔王建芬,梯度特征向量排序法的推导与改进,系统工程理论与实践,,
幻,,,,
,材口,阴材汉,,·
」王建芬,许树柏,层次分析泛引论,中国人民大学出版社,北京,
以泌,,二夕,从公,口,一,尸,,
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