文档介绍：第。卷第期经济数学
年月
线性拓扑空间中标量化定理的一个证明
黄正刚李泽民
重庆大学数理学院,
摘要本文对标童化问题的一个重要定理在线性拓扑空间中给予了证明,从而使该定理应用到线性拓扑
空间
关键词弱有效点,线性拓扑空间,严格拟凸函数
圣预备知识
设,,是线性拓扑空间,’,‘’分别是其共辘空间,为的内部,十

伸任‘抓。,任对,〔,若一任,则说,或为若一〔
,则说或,
定义假设。任仁,如果不存在二〔且井。,使。或。,则说。是
的最小向量或弱最小向量,也叫做的有效点或弱有效点其各自的全体分别记为口石,
,,显然,,〔,,
假设一,一仁是非平凡的闭凸锥,且井关于为偏予序集考虑向
量极小化问题
,

其中任任,为中的非平凡闭凸锥,且笋
定义设‘任,如果不存在,使。镇’或。‘且。笋
‘,则说’是的有效解或弱有效解
引理〕设为关于闭凸锥的偏予序集,。任仁,则
。任,骨门一十。。。任。,骨门一十。必
引理〔,〕,, 凡,二、,

圣定理的证明
定理在中进一步假设护巾,那么如果存在一线性连续泛函甲任十,且
任,有尹,使’任是沪的最优解,则’是的弱有效解假
收稿日期一一
经济数学第卷
设是凸集的严格拟凸函数,若’任是的弱有效解,则必存在任十,满足

,帆。,使得’是的最优解
证明设’不是的弱有效解,则存在。任,使得。’,。护

‘,即存在任,使’一。二因为任时,抓,所以甲‘一甲。
抓,即尹。’,。。,这与’是的最优解相矛盾
首先证了任了,任是中的凸集
设集合,,任,又任,,则存在,,任,,,任,使得
,,,,
砂一几二汀, 一几七一几
若,则由式,显然有
勺, 一劝任
若并,由于严格拟凸,则
七, 一几丈,,
于是,存在任,使
,二七十一又十
从而由、得
砂一几少七、一又七, 一又,
又因

七七一又任,
所以几十一幻任
故是中的凸集
由‘是的弱有效解知,了‘是的弱有效点,于是由引理知,了’也
是王的弱有效点再由引理有
门一’巾,
注意到十及一十‘都是凸集,且‘一内部非空,则由线性拓扑空间凸
集分离定理,存在非零的沪任’与泞任,使
了‘勺、

甲右,任一了’、产
矛、
任
试子,任十、产
由于’任仁以及对任,有二一‘所以右》帆一抓
十甲。‘一抓右,于是,对任,有抓因为是闭凸锥,故对〔,存