文档介绍：:..数值分析程序报告实验报告一题目:非线性方程求解摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。■、八—.刖a:掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理:对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)Newton法通常预先要给出一个猜测初值xO,然后根据其迭代公式xk?l?xk?f(xk),f(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当xO接近x*时收敛很快,但是当xO选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为xk?l?xk?rf(xk)f'(xk)其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计:本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下functiony二f(x);y二-x*x-sin(x);写成如上形式即可,下面给出主程序。二分法源程序:clear%%%给定求解区间b=;a=0;%%%误差R=l;k=0;%迭代次数初值while(R>5e~6);c=(a+b)/2;iffl2(a)*fl2(c)〉0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+l;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序:clear%%%%输入函数f=input('请输入需要求解函数>>',‘s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu二2;%%%初始值xOx0=input('inputinitialvaluexO>>,);k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'xO','x'));%求解f(x0),以确定初值xO时否就是解while(abs(R)>le-8)xl二xO -miu*eval(subs(f,,xO','x'))/eval(subs(df,'xO,x'));R=xl-xO;xO=xl;k二k+1;if(eva1(subs(f,'xO','x‘))breakendifk>max;%如果迭代次数大于给定值,认为迭代不收敛,重新输入初值ss=inputCmayberesultiserror,chooseanewxO,y/n?>>',‘s');ifstrcmp(ss,'y‘)x0=input('inputinitialvaluexO>>,);k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=xO;%给出解结果分析和讨论:x2?0在[1,2]内的根。(??5*10?6,下同)1•用二分法计算方程sinx?2计算结果为X二;f(X)=-;k=18;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数比较多,方法收敛速度比较慢。?x?l?0在[1,]内的根。计算结果为x=;f(X)=;k=17;由f(x)知结果满足要求,但迭代次数还是比较多。)xex?l?0x0=;计算结果为x=;f(x)=;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b)x3?x?l?0x0=l;c)(x?l)2(2x?l)?0x0=,x0=;当xO二时,计算结果为x=;f(x)=-;k=4;由f(x)知结果满足要求,而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快,实际上该方程确实有真解沪。当xO二时,计算结果为x二;f(x)=O;k=9;由f(x)知结果满足要求,实际上该方程确实有真解妒,但迭代次数增多,实际上当取xO〉时,x~l,就变成了方程的另一个解,这说明Newton法收敛与初值很有关系,有的时候甚至可能不收敛。,有2重根,取??2(x?l)2(2x?l)?0x0=;)比较结果。当xO二时,程序死循环,无法计算,也就是说不收敛。改??时,结果收敛为x=;f(x)=;k=l6;显然这个结果不是很好,而且也不是收敛至方程的2重根上。当xO二时,结果收敛为X二;f(X)二;k=4;这次达到了预期的结果,这说明初值的选取很重要,直接关系到方法的收敛性,实际上直接用Newton法,在给定同样的条件和精度要求下,可得其迭代次数k=15,这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论:对于二分法,只要能够保证在给定的区间内有根,使