文档介绍：第卷第期经济数学
年月
资产定价第一基本定理的拓扑描述
金治明柏恩娟
国防科技大学理学院,长沙,
摘要资产定价的第一基本定理是数金融学中核心的定理之一,本文证明了在的弱’拓扑武的,
中的凸集分离定理,并在此定理的基拙上给出了没有无风险免费午餐的拓扑描述,证明了市场公平性与没有
无风险免费午餐条件的等价性,从而重祈证明了资产定价的第一基本定理
关锐词泛函,半范数,没有无风险免费午餐,等价秋测度,凸集分离定理
资产定价基本定理所需的泛函分析与拓扑知识
定义定义在线性空间上的实值函数,如果满足条件
以任,夕镇勿次可加性
七镇又则称它为上的一个半范数
命题设为线性空间上的半范数,‘为任意的正数,则集合任镇。
具有性质‘
任
是凸集
是平衡集,即如任,又毛,有肠任
是吸收集,即任,存在又,使得汇’任
这样的集合称为是平衡吸收凸集
设为的一个平衡且吸收凸集,称
一
口,一工材
为凸集泛函
下面的定理表明凸集的泛函是一个半范数
定义如果线性拓扑空间的任意的含有。的开集都包含一个平衡且吸收的凸开
集,则称为局部凸空间
定理设,任为线性空间上一族半范数,从中任取有限个半范数,
⋯,,,以及个正数。,⋯,‘,令
任‘镇。, ,⋯,
则易知是一个包含。的平衡吸收凸集把它作为。的邻域,为的邻域,则由此邻域
系定义的线性拓扑空间就是局部凸空间,而且每个半范数‘在上连续
收稿日期一一·
第期金治明柏恩娟资产定价第一基本定理的拓扑描述一一
证明见〕口
如果半范数族、任升满足下述的分离公理
。共。,存在族中的,。,使得、。。笋。
则此半范数族定义的拓扑空间是空间
定理表明一族半范数可确定一个局部凸空间,下面的定理则说明一个局部凸空间必可
由它的平衡吸收凸子集的泛函所确定
定理局部凸空间必可由它的平衡吸收凸子集的泛函所确定
证明见口
下面是局部凸空间的一系列分离定理我们记上线性泛函全体为’,连续线性泛函全
体有‘
定理设为一个实或复的局部凸空间, 为的平衡闭凸子集,则对任意
的。去,存在一个连续线性泛函任’,使得。,且。镇,任
证明由于为闭集,存在的平衡吸收凸邻域,使得
材自。斗日
因平衡且凸,我们有
十剖。。千剖一
事实上,若它非空,则有,,〔,,使。一,一,任,故一
由的平衡凸性,这样任。,矛盾由于集合。为。的一个邻域,而。告
,而平衡凸集的闭包,仍为平衡凸集凸性的证明可见」引理,而平衡性
是明显的,它不包含由的平衡性,任,,故是。的平衡吸收凸邻域令
为的泛函,为闭集,故任当且仅当毛,所以对。去,。,
从而由一定理,存在任‘,使得。。,且在上,簇
,从而在上,镇
我们将需要下面的分离定理
定理’设为实的局部凸空间,为的闭凸子集,告,则对任意的。告
,存在上连续的实线性泛函,使得。,且二。
证明证明方法与上面定理是类似的,只要指出当任时, 的闭包仍是平衡且
吸收的凸集令为的泛函,为闭集,故任当且仅当镇,所以对
在,。。从而由实线性空间的一定理,存在任’,使得。。。
,且在上,镇武,从而在上,镇
下面介绍弱二拓扑
定义设,约为局部凸空间,对于任,作
全‘卜
使