文档介绍：7 引言在日常生活中,经常可以看到一些具有相互斗争或竞争性质的行为,如下棋、打牌、体育比赛等。还有企业间的竞争、军队或国家间的战争、政治斗争等,都具有对抗的性质。这种具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。在这类行为中,各方具有不同的目标和利益。为实现自己的目标和利益,各方必须考虑对手可能采取的行动方案,并力图选择对自己最为有利或最为合理的行动方案。例如,我国战国时期的“齐王赛马”就是典型的对策行为。对策问题各种各样,所以对策模型也千差万别,但本质上都包括三个基本要素: (1)局中人在一个对策行为中,有权决定自己行动方案的对策参加者。 (2)策略集一局对策中,可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。一个局中人全体策略构成的集合,称为此局中人的策略集。 (3)赢得函数各局中人分别选定自己的策略构成的策略组称为一个局势。当局势出现后,对策的结果也就确定了。对于局势s,局中人i可以得到一个赢得Hi(s),它是局势s的函数,称为局中人i的赢得函数。对策的分类: 1)按局中人的多少分为二人对策和多人对策。 2)按策略集中策略的有限或无限,分为有限对策和无限对策。 3)按各局中人赢得函数的代数和是否为零,分为零和对策和非零和对策。我们本章要学****的矩阵对策是指二人、有限、零和对策。 矩阵对策纯策略意义下的解矩阵对策就是二人有限零和对策。设两个局中人为Ⅰ、Ⅱ,它们各自的策略集为 S1={α1,α2,…,αm} S2={β1,β2,…,βn}当局中人Ⅰ选定纯策略αi,局中人Ⅱ选定纯策略βj后,就形成了一个纯局势(αi,βj),这样的纯局势共有m·n个。对任一纯局势(αi,βj),记局中人Ⅰ的赢得值为aij,则得矩阵 A=(aij),称为矩阵人Ⅰ的赢得矩阵。由于是零和对策,则矩阵人Ⅱ的赢得矩阵为-A。矩阵对策的名称正是由此而来。通常把矩阵对策记为 G={Ⅰ,Ⅱ;S1,S2;A} 或 G={S1,S2;A}对于G={S1,S2;A},若有等式 max min aij=min max aij=ai*j* i j j i成立,则称纯局势(αi*,βj*)为对策G在纯策略意义下的解,αi*和βj*分别称局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略。记VG=ai*j*,称VG为对策G的值。定理1 矩阵对策G={S1,S2;A} 在纯策略意义下有解,当且仅当存在纯局势(αi*,βj*),使对一切i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,均有 aij*≤ai*j*≤ai*j例:G={S1,S2,A} -6 1 -8 S1={α1,α2,α3,α4} A= 3 2 4 S2={β1,β2, β3} 9 -1 -10 -3 0 6例如 6 5 6 5 1 5 2 -1A= 8 5 5 5 0 2 6 矩阵对策混合策略意义下的解先看一个简单的例子: A= 3 6 5 4一般地,设矩阵对策G={S1,S2;A},其中 S1={α1,α2,…,αm},S2={β1,β2,…,βn}, A=(aij)m×n若向量x=(x1,x2,…,xm)T和y=(y1,y2, …,yn)T满足∑xi=1,xi≥0 (i=1,2,…,m) ∑yj=1,yj≥0 (j=1,2,…,n)则x和y分别称为局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的混合策略。定理任一矩阵对策G={S1,S2;A},一定存在混合策略意义下的解。定理设有两个矩阵对策 G1={S1,S2;A1} G2={S1,S2;A2}其中A1=(aij),A2=(aij+L),L为任一常数。则 (1)G1与G2同解; (2)VG2=