文档介绍：(introduction)有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。边值问题(boundaryvalueproblems,场问题fieldproblem)是一种数学问题(mathematicalproblems)(在所研究的区域,一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。边值问题也称为场问题,场是指我们研究的区域,并代表一种物理模型。场变量是满足微分方程的相关变量,边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。根据所分析物理问题的不同,场变量包括位移、温度、热量等。(howdoesthefiniteelementmethodswork)有限元法的基本思路可以归结为:将连续系统分割成有限个分区或单元,对每个单元提出一个近似解,再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。等截面直杆在自重作用下的材料力学解答 ,杆的长度为L,截面积为A,弹性模量为E,单位长度的重量为q,杆的内力为N。试求:杆的位移分布,杆的应变和应力。(1),将直杆划分成n个有限段,有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点,称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li,包含第i,i+1个结点。用单元节点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示, (2)其中为第i结点的位移,为第i结点的坐标。第i个单元的应变为,应力为,内力为: (3) (4) (5)把外载荷集中到节点上把第i单元和第i+1单元重量的一半,集中到第i+1结点上。+1结点,由力的平衡方程可得: (6)令,并将(5)代入得: (7) 根据约束条件,。 对于第n+1个结点, (1-11)建立所有结点的力平衡方程,可以得到由n+1个方程构成的方程组,可解出n+1个未知的接点位移。),所划分的网格称为有限元网格。在通常情况下,单元的几何形状是直边的,因此假如所模拟的物理模型包含曲边,用有限元网格包括整个物理模型是不可能,,(a)划分的网络比较粗,(b)划分的网络相对比较精细,其包含更多物理模型区域假如插入函数满足特定的数学条件(边值问题),随着单元数目的增加,有限单元解将收敛于解析解。为了说明这个问题,我们举一个例子来说明:(a)描述锥形、实圆柱体,一端固定,另一端承受一拉力,假定在施加力的端部的位移是我们求解的问题。(1)(b)所示,假定圆柱体是均一,截面面积为圆柱体的平均面积,因此模型简化为一维的杆单元模型,其解可以通过材料力学求出。(2)(c)所示,为两个单元的模型,单元长度为整个圆柱体长度的一半,单元面积为相应1/2圆柱体面积的平均值。(3)(c)所示,为四个单元的模型。(a)为各种有限元模型与解析解的比较,从图中我们可以知道,随着划分单元数目的增加,有限元解逐渐向解析解收敛。(b)为四单元模型与解析解的位移沿圆柱体长度变化情况,从图中我们知道,在限元模型中单元内部位移变化是线性的(这是由于插入函数是线性的),且位移向解析解近似逼近。然而在大多数结构问题,我们关注的是由加载引起应力的变化,而应力是通过应力-应变相关关系计算出来的,应变分量由位移分量推导出来的。因此,、4单元模型与真实轴向应力解,从图中可知,在每个单元内应力是常数,在单元之间应力非连续的(discontinuity),并且随着单元数的增加,单元之间的应力变化逐渐减少。这一现象是有限元法特有现象,即场变量是连续的,而派生的场变量却未必是连续的。这个例子表明随着单元数目的增加,有限元解如何收敛于真实解,但问题是对复杂问题真实解是未知,因此如何评价有限元解是否收敛于准确解?(1)数值收敛;(2)数值解的合理性;(3)是否满足物理法则如结构是否处地平衡状态;(4)在单元边界上的派生变量的值的非连续性是否合理。。详细的介绍将在第八章进行介绍。在这里,为了与有限单元法比较,仅仅介绍一