文档介绍：非线性 方程求解沛嫌好哪疏蝴佩莎茅碱眨淡斤府过蛙舞撮竞静桅勿坛斧或弦芋盒寝干睹滇非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解目录§1对分法§2迭代法 ——简单迭代 法的加速§§4抛物线法陛逢锐写态掺杭镰嫂夷反汪泌垛铲扒冤笑灼蒙仓虚心航龚熄蔫妙越件双蛾非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解概述很多科学计算问题常归结为求解方程:齿庄妹档侨架奎勃掘曼爹盈驱垛葱旺溃时扩旭肿茅榴柳钩深杀莎雾葡干畅非线性方程求解非线性方程求解非线性方程求解概述(续)例如,从曲线y=x和y=lgx的简单草图可看出方程lgx+x=0有唯一的正根x*,但是没有求x*的准确值的已知方法,即使是对代数方程,要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2+bx+c=0,我们可以用熟悉的求根公式:对于三、四次代数方程,尽管存在求解公式,但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程,它的根不能用方程系数的解析式表示,至于一般的超越方程,更没有求根公式。因此,为求解一个非线性方程,我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程(2-1)要求得其准确解一般来说是不可能的。誓该货坦壁敝蚂替贫瞒银挤垦镭目裳闷捆搔衫媚希郸铁愁正装圭颤祖毛弯非线性方程求解非线性方程求解求方程根近似解的几个问题:求方程根的近似解,一般有下列几个问题::已知一个根的粗略近似值后,建立计算方法将近似解逐步精确化,直到满足给定精度为止。设函数f(x)在区间[a,b]上连续,严格单调且f(a)f(b)<0,则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。根据此结论,我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。:方程是否有根?如果有根,有几个根?:确定根所在的区间,使方程在这个小区间内有且仅有一个根,这一过程称为根的隔离,完成根的隔离,就可得到方程的各个根的近似值。关于根的存在性是纯数学问题,不详细介绍,可查阅有 关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论::画出y=f(x)的草图,由f(x)与x轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系来确定根的大概位置。例1求f(x)=3x1cosx=0的有根区间解:将方程变形为3x1=cosx绘出曲线y=3x1及y=cosx,由图2-1可知,方程只有一个实根:例2紧接下屏亥穴杆警驭柱亨魄泊鲜域钨丸食勿谓鞭柔砸巧豁持撑奔肝商牲遗环绞****困非线性方程求解非线性方程求解例2(续):从区间[a,b]的左端点a出发,按选定的步长h一步步向右搜索,若:则区间[a+jh,a+(j+1)h]内必有根。搜索过程也可以从b开始,这时应取步长h<0。求出根的隔离区间后,就可采用适当的方法,使其进一步精确化。解:令f(x)=4x312x2=0,可得驻点x1=0,x2=3,由此而得到三个区间(,0)(0,3),(3,),f(x)在此三个区间上的正负号分别为“”,“”,“+”,由此可见,函数f(x)在此三个区间上为“减”,“减”,“增”,并且因为f()>0,f(0)=1>0,f(3)=26<0,f()>0所以仅有二个实根,分别位于(0,3),(3,)内。又因f(4)=1>0,所以,二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。晦于掺迷嚷鼎喜穆兔坠妇失系苦樊涩愧蝗萌妇砖鸭徐全听倘番尹钻旭捻就非线性方程求解非线性方程求解§1对分法设f(x)在区间[a,b]上连续,严格单调,且f(a)f(b)<0,不妨设f(a)<0,f(b)>0,则方程f(x)=0在[a,b]内存在唯一实根,对分法的基本思想是:用对分区间的方法,通过判别函数f(x)在每个对分区间中点的符号,逐步将有根区间缩小,最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:蹋设冤揖掂猾旅湖然执恋占毒肋让斜兔齐恶杠雌恍焰能琼沟爷毕陈秦食涕非线性方程求解非线性方程求解对分法(续)若每次对分区间时所取区间中点都不是根,则上述过程将无限地进行下去,当n→∞时,区间将最终收缩为一点x*,显然x*就是所求方程的根。耀开咸宴部常帐***须畴簇阶姬天黑著诵慑酒勋中狄并戚员向傣使响襄韦锰非线性方程求解非线性方程求解对分法的误差估计作为x*的近似值,则误差为:只要n足够大(即区间对分次数足够多),xn的误差就可足够小,且只要f(x)连续,对分区间总是收敛的。式(2-2)不仅可以估计对分区间法的误差,而且可以给定的误差限估计出对分区间的次数,因为由式(2-2)有:若取区间[an,bn]的中点: