复变函数课件3-6高阶导数.ppt

文档介绍：第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考2一、问题的提出问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, ?3二、主要定理定理.,)(),2,1(d)()(π2!)(:,)(0100)(n而且它的内部全含于线任何一条正向简单闭曲的内围绕的解析区域为在函数其中导数为阶它的的导数仍为解析函数解析函数??????证,0内任一点为设Dz,1的情况先证?n4根据导数的定义,zzfzzfzfz????????)()(lim)(0000从柯西积分公式得,d)(21)(00????Czzzzfizf,d)(21)(00????????Czzzzzfizzfzzfzzf????)()(00,d)(d)(2100????????????????CCzzzzfzzzzzfzi5???????Czzzzzzzfid))(()(2100????????????CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I?????????CzzzzzzzzfId)()()(21020????????Cszzzzzzfzd)(21020,)(上解析在因为Czf,上连续所以在C6,)(上有界在故Czf,)(,0MzfM???使得于是D?0zC,0上各点的最短距离到曲线为从设Czdd,适当地小并取z?,21dz??满足,0dzz??则,110dzz??00zzzzzz???????,2d?,210dzzz????,3dMLzI???7,3dMLzI???.的长度为这里CL,0??z如果,0?I那末zzfzzfzfz????????)()(lim)(0000,d)()(2120????Czzzzfi再利用以上方法求极限zzfzzfz????????)()()()(2!2)(300??????, )()(2!)(100)(?????Cnnzzzzfinzf[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导, 、典型例题例1解???????)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为正向圆周其中计算下列积分,1)1(cos)1(5处不解析内在函数???zCzz,cos内处处解析在但Cz??????Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式10???Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2?????zzi;125i???,)1()2(22处不解析内的在函数izCzez???1C2Cxyo??iCi?,1CiC为中心作一个正向圆周内以在,2Ci为中心作一个正向圆周以?,,,)1(zez?