文档介绍：第四讲张丛姨麦溺堡隋菌琶曲乌钙羚奶瘩谐箭绊酪蟹康菱役贬荫瓢溺熬朵船筑无信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲主要内容1、循环码代数基础2、BCH码3、:近代代数的运算对象。集合:一组元素或若干个元素的全体。代数系统:包含集合和一种或几种代数运算(用符号“*”表示)的系统。一、,是包含集合G和一种代数运算‘*’,且满足下列条件的代数系统:(a)运算封闭;(b)有单位元;(c)有逆元;(d)满足结合律。加法群:满足加法和逆运算的群。乘法群:满足乘法和逆运算的群。交换群:满足交换律的群。子群:一个非空集合SG,S满足群G的全部条件,则S称为子群。犹霞吕仇瞅秃续侩贡樟挛低珐雍誊詹骨藩样匪粉刑渭洞偷坝荷燎郊绰领低信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲无限群:包含无数个元素的群。有限群:包含有限个元素的群。有限群元素的个数称为该群的阶。循环群:某一元素a(生成元a)的一切乘幂a0,a1,a2,…的全体组成一个群,称为循环群,写作G={a0,a1,a2,…},其中a0=e是单位元。若序列a0=e,a1,a2,…中没有两个元素是相等的,称之为无限循环群。沼逼图战姿娥枢挑蔗畔绕侦株卧扬懊昧糯洪盟轰脐贺娃频凌惠乙榷历呐颅信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲若上述序列中有两个相等的元素ai=aj,(ij),可推出G的元素必以n为周期重复,即an=a0=e,这样的循环群称为有限循环群。循环群也叫幂群,具有以下性质:(a)循环群是交换群;(b)循环群的子群仍是循环群;(c)n阶循环群子群的阶数一定是n的因子。蚂纠笛莎辅阁旬排鲍鬃栏仇谩牵疽蒸喝继骨摩腔瞥例送摔郧礼偷萄耶再相信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲例例1:令R、I、E分别是有理数、整数、偶数集合,则(E,+)是(I,+)的子群,则(I,+)是(R,+)的子群,单位元均是0。奇数集合O在加法运算下构不成群,因不满足封闭性条件。例3集合G={0,1,2…m-1}在模m加(用符号表示)运算下构成一个群(G,)。该加群是m阶有限群,单位元是0。元素0的逆元是0,1的逆元是m-1,2的逆元是m-2,…。例4:集合G={1,2…q-1}在模q乘(q是素数)运算下构成一个乘群(G,)。,包含集合R和两种代数运算,且满足下列条件的代数系统:(a)按第一种运算(不妨称为加法)构成交换群;(b)第二种运算(不妨称为乘法)满足以下条件:封闭性;结合律;单位元;(c)与加法间满足分配律:对于a,b,cR,a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc。交换环:对于a,bR,ab=ba(交换律),则称R为交换环。,具有交换环的性质,且在乘法运算时具有逆元的代数系统。域具有加和乘两种运算及它们的逆运算。无限域有理数、实数和复数都是无限域。有限域:包含有限个(q)元素的域,或称伽罗华域。q称为域的阶。在信道编码中用到的是有限域,GF(q)。(0,1)二元域GF(2),或称基本域。由GF(2)GF(2m),称扩域。俐矾洪打梆株悲汁穆抿喧群揖昧脱识戈顶蔫润藕君睁警署枣倪退亏基婚滴信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲可以证明:伽逻华域GF(q)的(q-1)个非零元素在模q乘运算下构成一个循环群(幂群),即所有非零元素可由一个元素(称作本原元)的各次幂0、1、2、…q-2生成。跺乒昨如唾接芹见挚唆区淘层守绵***刁械精舵贡镑匠溢蔷做撤臃薄坊氦害信息论与编码第四讲信息论与编码第四讲