文档介绍：1结束随机变量的数学期望(均值), 它体现了随机变量取值的平均水平, 是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在很多场合, 仅仅知道平均值是不够的. §2 随机变量的方差2结束例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙两台仪器各测量10次, 并将测量结果X 用坐标上的点表示如图:问: 哪台仪器的测量效果好一些?a??????????甲仪器测量结果a??????????, 用它来度量随机变量在其中心(即均值) 附近取值的离散程度(或集中程度). 这个数字特征就是: : 考察某车床加工轴承的质量时, 若最关键的指标为长度, 则不但要注意轴承的平均长度, 同时还要考虑轴承长度与平均长度的偏离程度(即加工的精度); ?X ?E(X) ?E[ X ?E(X) ] ?E[ | X ?E(X) | ] ?E{ [ X ?E(X) ]2}4结束一、方差( variance )的定义随机变量X 的平方偏差[ X ?E(X) ]2 的均值}])([{2XEXE?记作)(XD或Var ( X ) ,叫做X )(XD记作)(X?X?:若X 的取值比较集中, 则方差较小;若X 的取值比较分散, :据以往记录, 甲乙两射手命中环数X、Y 的分布律为X 6 7 8 9 10P 6 7 8 9 10P :)(??????????,?,)(?YE两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的高低;但})]({[)(2XEXEXD??)2(2???)1(2?????????,?,)(?YD说明甲的命中环数比乙的更集中,. 方差的简化计算公式?)(XD)(2XE2)]([XE?即: :})]({[)(2XEXEXD??})]([)(2{22XEXXEXE???22)]([)()(2)(XEXEXEXE???.)]([)(22XEXE??7结束例:设X的概率密度为???????.,0,10,)(其它xbxaxf且D( X ) = 1/18, 求a, b及E( X ).而解:由归一性得??????xxfxXEd)()(???10d)(xbxax?????xxfd)(???10d)(xbxaba??2,1令?,23ba????????xxfxXEd)()(22???102d)(xbxax34ba??故22)]([)()(XEXEXD??223????????baba22??36222bb??,181令?解得b = 0, a = 2, E( X )= 2/3,34ba??或b = 2,a = ?2,E( X )= 1/:设(X, Y)的概率密度为???????.,0,10,8),(其它yxyxyxf试求D( X ), D( Y ) . 解: )(XE????101d8dxyyxxx,158????????????yxyxfxdd),(,31?)(2XE????1012d8dxyyxxx22)]([)()(XEXEXD??,22511?)(YE????101d8dxyyxyx,54?)(2YE????1012d8dxyyxyx,32?22)]([)()(YEYEYD??.752?xy01y=x9结束三. 常见分布的期望与方差(3),2)(baXE??则,),(~baUX(2)则,)(P~?X,)(??XE(1)则,),(~pnBX,)(pnXE?(4)则,)(~?eX,/1)(??XE(5),),(~2??NX则,)(??XE.)(pqnXD?.)(??)()(2abXD??./1)(2??XD.)(2??XD10结束四. 方差的性质(1)对任意常数k 与c有: D( k X + c) = k 2 D(X).(2)设X 与Y 相互独立, 则进一步, 若X1 ,…,Xn相互独立, 则对任意常数c1,…, cn有: D(X+Y) = D(X) + D(Y),D(X?Y) = D(X) + D(Y).D( c1 X1+