文档介绍：三角形中的最值(或范围)问题解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。类型一:建立目标函数后,△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求角A的大小;(2):已知向量m(ac,b),n(ac,ba),且mn0,其中A,B,C是△ABC的内角,a,b,c分别是角A,B,C的对边.(1)求角C的大小;(2):由mn(ac)(ac)b(ba)0,得a—c+b=ab=2abcosC12所以cosC=,从而C=60O故sinAsinBsinAsin(120A)=3sin(60+A)所以当A=30时,⊿ABC中,若有2R(sin立,试求⊿ABC的面积S的最大值。解:根据题意得:2A—sin2C)=(2a—b)sinB成2a2R(24R—2c24R)=(2a—b)*b2R222化简可得c—2ab,由余弦定理可得:=a+bC=45,A+B=135S=12absinC=122RsinA*2RsinB*sinC=2sinAsin(135—A)2R=(2sin(2A+45)+12∵0<A<135∴45<2A+45<315∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值2+12R2。类型二:利用重要不等式来解决1例2(13年重庆中学)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且,(1)若bc6,且b<c,求b,c的值.(2)求ABC的面积的最大值。222,解(1)osA12∴bcbcbc16()22∴bc8,又∵bc6,b<c,解方程组bcbc68得b2,c4或b4,c2(舍).∴b2,c4222,(2)osA221∴bcbc16222∵bc2bc∴32bc,又3sinA154∴⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=3,且2sinA—sinCsinB(1)求B和b的值;(2)求⊿osB=解:osB=2sinA—sinBsinC,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=12∴B=60。∵R=3,∴b=2RsinB=23sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b2=a2+c2-osB即9=a2+c2-os60∴9+ac=a2+c2≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=12acsinB≤129*9*sin60=349∴三角形得面积的最大值是34变式4:⊿ABC中,若AB=1,BC=2则,角C的取值范围是答案:=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=∵0<C<A∴0<C≤3012sinA≤122+-=2ab2c=4+2-b14b=14(b+3b)≥32,故0<C≤30练****1、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,π<C<3πb且=2a-bsin2C。sinA-sin2C(1)判断△ABC的性状;(2)若|BA+BC|=2,求BA·:(1)由bsin2C=及正弦定理得sinB=sin2C,∴B=2C,且B+2C=π,a-bsinA-sin2Cππ2若B=2C,<C<π<B<π,B+C>π(舍);∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三,∴+c2+2ac·cosB=4,∴cosB=2-aπ(2)∵|BA+BC|=2,∴a2(∵a=c),而cosB=-cos2C,<a3C<π,∴212<4,又BA·BC=accosB=2-a2,∴BA·BC∈(2<cosB<1,∴1<a,1).2332Ba+c=,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()2、在△ABC中,+1a+ca解析:∵cos,∴cosB==,∴=,∴2+c2-b2a=2acac,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△+c2-b2=2a