文档介绍：笫一讲数的整除问题数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、:15+3二5,637=9一般地,如不b、c为整数,b^O,且旷b二c,即整数麻以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数〔或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除Jo记作bI孔否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除Q,记作皿如果整数8能被整数b整除,8就叫做b的倍数,b就叫做8的约数。例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。•数的整除性质性质X如杲不b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。即:如果cIa,cIb,那么cI(a±b)。例如:如果2I10,2I6,那么2I(10+6),并且2I(10—6)。性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除8•即:如果beIa,那么bI宫,cIao性质3:如果b、c都能整除8,且b和c互质,那么b与c的积能整除即:如果bIa,cIa,且(b,c)二1,那么beIao例如:如果2I28,7I28,且(2,7)二1,那么(2X7)I28o性质4:如果c能整除b,b能整除且,那么c能整除即:如果cIb,bIa,那么cIao例如:如果3I9,9I27,那么3I27。•数旳整徐苻社能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数•“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数〔包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0)•下面“特征”含义相似。能被5整除的数的特征:个位是0或5。能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。例如:1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数•又因为4I64,所以1864能被4整除•但因为25*64,(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。例如:29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数•又因为125I375,所以29375能被125整除•但因为8*375,所以8*29375。能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。例如:判断123456789这九位数能否被11整除?解:这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=—20=5,又因为11*5,所以11*123456789。再例如:判断13574是否是11的倍数?解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:(4+5+1)-(7+3)=0•因为0是任何整数的倍数,。能被7〔11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7〔11或13)整除。例如:判断1059282是否是7的倍数?解:-282=777,又7I777,。再例如:判断3546725能否被13整除?解:把3546725分为3546和725两个数•因为3546-725=,因为821—2=819,又13I819,所以13I2821,|云殛7求所有满足条件的六位数云茨头解:T45二5X9,・••根据整除“性质2”可知5|xl993y,9仪1993y°・・・y可取0或5。当y=0时,根据9|云殛7及数的整除特征③可知当y=5时,根据9|云殛7及数的整除特征③可知z=9.・•・满足条件的六位数是519930或919935。例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9口・2□元•己知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?解:□元二9口2□分28=4X7,・••根据整除“性质2”可知4和7均能整除9口2口。I2□可知□处能填0或4或&因为7*9020,7*9424,所以□处不能填0和4;因为7I982&所叫□处应该填&^-28=(元)答:每支钢笔3・51兀。/PGN>个条件的整数。解:'/llIa2a3a4a5a,・•・根据能被11整除的数的特征可知:1+2+3+4+5的和与5垃差应是11的倍数,即11I(15—5乞)•或11