文档介绍：LYR(2010-09-23)“最值问题”集锦•平面几何中的最值问题07•几何的定值与最值•最短路线问题 14•对称问题 18•巧作“对称点”妙解最值题 22•数学最值题的常用解法 26•求最值问题 29•有理数的一题多解 34•4道经典题 37•平面几何中的最值问题在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,,可以达到最经济、,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种:(1)应用几何性质:三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;两点间线段最短;连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;定圆中的所有弦中,直径最长。⑵运用代数证法:运用配方法求二次三项式的最值;运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线1的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。变#i:Ara两点初射在直述i的西側,在直執r使)ra-f苴最大。♦A LB# I分析:在直线L上任取一点P,,连结AP,,BP,,在/XABP'中AP'+BP'>AB,如果AP'+BP'=AB,则P'必在线段AB上,而线段AB与直线L无交点,所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,在MBP中A'P'+B‘P'>A‘B,当P'移到A'B与直线L的交点处P点时A,p,+b‘p‘=a‘B,所以这时PA+PB最小。1已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?E3-91分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,〃CD,必2R2-=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+,则x2=BD2=AB•BE=2R•(R-y)=2R-2Ry,2R2-x2U=:所以氏+y+R=x+————++2Rx+2R2="2R 仏购以=~2R所以求u的最大值,只须求-x24-2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R-(x-R)2^3R2,上式只有当x二R时取等号,这时有2R2-x2 2R2-R2R所以 2y=R=x・所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,这时,梯形的底角恰为60°和120。・2•如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?E3-92分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+irx=8,0若窗户的最大面积为S,则S=2xy . ②把①代入②有8-Tex-2x1 0S=2x♦+-%x222=8x-7CX2-2x2+—7TX22TCa=血-(2+324+兀324+兀上式中,只有汁 时,,由①有4+兀84+兀即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,,试问P在什么位置时,PA+PB最大(®3-93)?分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB渐小,在极限状况(P与A重合时),猜想P在半圆弧中点时,PA+,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,+PB最大,我们在半圆弧上另取一点V,连P,A,P‘B,延长AP'到L,使P‘C1二BP',连C‘',则ZP‘C1B=ZPZBC=ZPCB=45°,所以A,B,Cr,C四点共圆,'A=ZCBA=90°,所以在△ACC,中,AC>AC7,即PA+PB>P‘A+P,B・4如图3-94,在直角AABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是AABD,AACD的内心,直线MN交AB,AC于K,:Saabc^,BM,DM,AN,・因为在AABC中,ZA=90°,AD丄BC于D,所以ZABD=ZDAC,ZADB=ZADC=90°・因为M,N分别是AABD和AACD的内心,所以Z1=Z2=45°,Z3=Z4,所以△ADNs^BDM,所以DM_BDDN_AB・又因为ZMDN=90°=ZADB,所以△MDNs^BDA,所以ZBAD=ZMNDe由于ZBAD=ZLCD,所以ZMND=ZLCD,所以D,C,L,N四点共圆,所以ZALK=ZNDC=45°・同理,ZAKL=Z1=45°,△ADM,所以 AK=AD=, AL=|AD2,而AD2AC2AB2BC2AC