文档介绍：=(X1,...,Xp)'(假定Xi为标准化变量,即E(Xi)=0,Var(Xi)=1,i=1,2,…,p)表示为或X=AF+ε其中F1、F2、…、Fm称为公共因子,简称因子,是不可观测的变量;待估的系数阵A称为因子载荷阵,aij(i=1,2,…,p;j=1,2,…,m)称为第i个变量在第j个因子上的载荷(简称为因子载荷);ε称为特殊因子,是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足:cov(F,ε)=0,即F,ε不相关;D(F)=Im,即F1、F2、…、Fm互不相关,方差为1;D(ε)=diag(12,22,…,p2),即ε1、ε2、…、εp互不相关,方差不一定相等,εi~N(0,i2)。因子分析的目的就是通过模型X=AF+ε以F代替X,由于m<p,从而达到降维的愿望。(1)因子载荷aij的统计意义由Xi=ai1F1+…+aimFm+εi,两边同乘以FjE(XiFj)=ai1E(F1Fj)+…+aijE(FjFj)+…+aimE(FmFj)+E(εiFj)从而有ρij=E(XiFj)=aij即载荷矩阵中第i行,第j列的元素aij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数,反映了第i个变量与第j个公共因子的相关程度。在这种意义上公共因子解释了观测变量间的相关性。(2)变量共同度的统计意义因子载荷矩阵第i行的元素平方和:称为变量Xi的共同度(i=1,2,…,p)。对Xi=ai1F1+…+aimFm+εi两边求方差:显然,若因子方差hi2大,剩余方差i2必小。而hi2大就表明Xi对公因子的共同依赖程度大。可见hi2反映了变量Xi对公共因子F的依赖程度,故称hi2为变量Xi的共同度。(3)公共因子Fj方差贡献的统计意义因子载荷矩阵A中各列元素的平方和:称为公共因子Fj对X的贡献,是衡量Fj相对重要性的指标,qj2越大表明Fj对X的贡献越大。3金融时间序列中因子的类型收益率时间序列宏观经济因子:GDP,通胀,失业率,收益率曲线的陡峭度等(或者这些变量的意外冲击----扰动项)基本面因子:财务分析得到的变量Fama-French方法(1992):市场收益率,企业规模,价值型/成长型(市场资产净值或市场资产净值/账面资产净值)统计因子:数学过程得到的变量,主成分分析(PCA),主因子分析1因子载荷矩阵的估计给定p个相关变量X1,...,Xp的观测数据阵X,由X=AF+ε易推出∑=AA'+D其中∑=D(X)为X的协方差阵,A=(aij)为pm的因子载荷阵,D=diag(12,22,…,p2)为p阶对角阵。由p个相关变量的观测数据可得到协差阵的估计,记为S。为了建立因子模型,首先要估计因子载荷aij和特殊方差i2。常用的参数估计方法有以下三种:主成分法,主因子法和极大似然法。(1)主成分法设样本协方差阵S的特征值为λ1≥λ2≥…≥λp≥0,u1,u2,…,up,为对应的标准化特征向量,当最后p–m个特征值较小时,S可近似地分解为:其中为pm阵,,即得因子模型的一个解。载荷阵A中的第j列和X的第j个主成分的系数相差一个倍数(j=1,…,m),故这个解称为主成分解。(2)主因子法主因子方法是对主成分方法的修正,设R=AA'+D,则R*=R–D=AA'称为约相关矩阵,若已知特殊因子方差的初始估计,也就是已知变量共同度的估计:则R*对角线上的元素是,而不是1。即:计算R*的特征值和特征向量,取前m个正特征值λ1*≥λ2*≥…≥λp*>0,相应的特征向量为u1*,u2*,…,up*,则有近似分解式:R*=AA'其中,令(i=1,…,p),则A和D为因子模型的一个解,这个解称为主因子解。