代数结构.ppt

文档介绍：代数结构g:RRg(x)=x求不小于x的最小整数2=2,=3 -2=-2,-=-2则g为R上的一元运算1、n元运算:f:AnB的函数,则称f为A上的n元运算(代数系统中运算的概念)如f:NNf(n)=n+1则f为一元运算f:QRf(x)=则f是Q上的一元运算5-1代数系统的引入f:R2Rfx,yxy(或xy,xyxy)则f是R上的二元运算在数学中,用/来表示运算,而在代数系统中,用*表示运算(注意:*是一个抽象的运算符号,可表示或其他运算)*:A2B<a,b>a*b*<a,b>=a*b可用函数来表示运算,也可利用给出运算结果来表示一个运算:如A=*5-1代数系统的引入3、代数系统:定义:非空A,若干个A上的运算f1,f2,.fk所组成的系统称为一个代数系统,记作〈A,f1,f2,...,fk>如〈N,+〉,Q,+,-,均是代数系统若S,则P(s),,也是代数系统则不封闭而f(x)=2、封闭:对于*:AnB若BA,则称运算*是封闭的对代数系统而言,其上定义的运算未必封闭如上面所举例f(n)=n+1g(x)=x等则分别在N,在R上封闭5-1代数系统的引入2、交换律:〈A,*〉,*是A上的二元运算,若对a,ba*b=b*a,则称*是可交换的。例A=Q(Q为有理数集),为Q上二元运算,定义a,bQ,ab=a+b-ab,则是可交换的,∵ab=a+b-ab,ba=b+a-ba=a+b-ab=ab,是可交换的。1、封闭性:〈A,*〉,即*是A上二元运算,如果对a,b,都有则称运算*是封闭的。5-2代数系统的基本性质3、结合律:〈A,*〉,*是A上的二元运算,若对a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c),则称*是可结合的。5-2代数系统的基本性质4、分配律:若对a,b,c有a(bc)=(ab)(ac),(bc)a=(ba)(ca)则称对于是可分配的(要求左右分配均满足)如a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca是一般定义上的抽象符号。例A=,,如下*则对可分配吗?对呢?()*要求对集合A中任意元素都成立,共有82种左右分配,一一验证可知成立,∴对可分配而对不分配:(而∴对不可分配?5-2代数系统的基本性质5、吸收律:〈A,*,〉,*,均可交换,若a,b,有a(ab)=a,a(ab)=a,则称和满足吸收律。例:*运算:a*b=max(a,b)运算:ab=min(a,b)可交换成立a(ab)=max(a,min(a,b))=a,a(a*b)=min(a,max(a,b))=a∴吸收律成立例:,也满足吸收律。【有P(PQ)=P;P(PQ)=P】5-2代数系统的基本性质6、等幂律:〈A,*〉,若对aA,有a*a=a,则称*是等幂的或是幂等的。对幂等运算有nN且n>1,an=a例:S,对代数系统<P(s),,>,AP(s),有AA=A,AA=A,∴,是等幂的5-2代数系统的基本性质7、幺元(单位元):〈A,*〉,若有elA,对xA,有el*x=x,则称el为A中关于*的左幺元。【如A=R,*:xR,1x=x∴1是左幺元】若有erA,对xA,xer=x,则称er为A关于*的右幺元。【如x1=x∴1也是右幺元】若有eA,e既是左幺元又是右幺元,则称e是A上关于*的幺元。【1是R上关于的幺元】R上关于+的幺元为0(∵0+x=x+0=x)5-2代数系统的基本性质