文档介绍：第六节方向导数、梯度和泰勒公式实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)、问题的提出讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题.),(yxfz?二、方向导数的定义oyx?lP??x?y??P?.引射线内有定义,自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),(?).(),(,pUPlyyxxPlx???????上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设?(如图)???||PP?,)()(22yx????),,(),(yxfyyxxfz???????且当沿着趋于时,P?Pl??),(),(lim0yxfyyxxf??????,?z?考虑是否存在?.),(),(lim0??yxfyyxxflf?????????依定义,函数),(yxf在点P沿着x轴正向}0,1{1?e?、y轴正向}1,0{2?e?的方向导数分别为yxff,;沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff??,.,时,如果此比的极限存趋于沿着当之比值,两点间的距离与函数的增量定义lPPlPyxPPyxfyyxxf???????????22)()(),(),(?记为定理如果函数),(yxfz?在点),(yxP是可微分的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在,且有??sincosyfxflf????????, 其中?,则增量可表示为)(),(),(?oyyfxxfyxfyyxxf??????????????两边同除以,?得到?cos?sin?????)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf????????????????故有方向导数??),(),(lim0yxfyyxxf??????.sincos??yfxf?????????lf例1求函数yxez2?在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(??的转角4????.;1)0,1(2)0,1(????yexz?,22)0,1(2)0,1(????yxeyz所求方向导数)4sin(2)4cos(??????????这里方向l?即为}1,1{??PQ,例2求函数22),(yxyxyxf???在点(1,1)沿与x轴方向夹角为?的方向射线l?(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?解??sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf????由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(??xyyx????????sincos),4sin(2????故(1)当4???时,方向导数达到最大值2;(2)当45???时,方向导数达到最小值2?;(3)当43???和47???时,方向导数等于0.