文档介绍：NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,:二次函数中的最值问题例1:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 解析:(1)把A(﹣2,﹣4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中,得 解这个方程组,得a=﹣,b=1,c=0所以解析式为y=﹣x2+x.(2)由y=﹣x2+x=﹣(x﹣1)2+,可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB∴OM=BM∴OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB===4,因此OM+AM最小值为. 方法提炼:已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B,求AM+BM最小值的问题,我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’,将点B与A’连接起来交直线与点M,那么A’B就是AM+BM的最小值。同理,我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’,将点A与B’连接起来交直线与点M,那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是:两点之间线段最短。AABBM 或者MA’B’例2:已知抛物线的函数解析式为,若抛物线经过点,方程的两根为,,且。(1)求抛物线的顶点坐标.(2)已知实数,请证明:≥,并说明为何值时才会有.(3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线,设,是上的两个不同点,且满足:,,.请你用含有的表达式表示出△的面积,并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。解析:(1)∵抛物线过(0,-3)点,∴-3a=-3 ∴a=1 ∴y=x2+bx-3 ∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且=4∴=4且b<0∴b=-2∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4)(2)∵x>0,∴∴显然当x=1时,才有(3)方法一:由平移知识易得C2的解析式为:y=x2∴A(m,m2),B(n,n2)∵ΔAOB为RtΔ∴OA2+OB2=AB2∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2化简得:mn=-1∵SΔAOB==∵mn=-1∴SΔAOB==∴SΔAOB的最小值为1,此时m=1,A(1,1) ∴直线OA的一次函数解析式为y=x 方法提炼:①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=②例3:如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解析:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则:a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有:,解得;故直线BC的解析式:y=﹣x+,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).(3)如图;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN×OB,∴S△BNC=(﹣m2+3m)×3=﹣(m﹣)2+(0<m<3);∴当m=时,△BNC的面积最大,:因为△BNC的面积不好直接求,将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来,得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想,当二次函数的开口向下时,在顶点处取得最大值;当二次函数的开口向上时,在顶点处取得最小值。题型二:二次函数与三角形的综合问题例4:如图,已知:直线交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,:(1):由题意得,A(3,0),B(0,3)∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组解得: