文档介绍：分数应用题中比的应用一、抓不变量【例1】有一些球,其中红球占1/3,当再放入8个红球后,红球占总球数的5/14,问现在共有多少球?解:其他球的数量没有改变。增加8个红球后,红球与其他球数量之比是 5∶(14-5)=5∶9。在没有球增加时,红球与其他球数量之比是 1∶(3-1)=1∶2=∶9。因此8个红球是5-=(份)。现在总球数是本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变。把1∶∶9,就是充分利用这一特点。本题也可以列出如下方程求解:(x+8)∶2x=5∶9。【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4,,,则他们的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分?解一:甲、乙两人的分数之和没有变化。原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12份。如何把这两种分法统一起来?这是解题的关键。9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算,5∶4=(5×4)∶(4×4)=20∶∶7=(5×3)∶(7×3)=15∶21。,,相当于20-15=5份。÷5×20=90(分),÷5×16=72(分)。我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程。解二:设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x。根据得分变化,可列出比例式。(5x-)∶(4x+)=5∶7即5(4x+)=7(5x-),15x=12×,x=18。甲原先得分18×5=90(分),乙得18×4=72(分)。【例3】张家与李家的收入钱数之比是8∶5,开支的钱数之比是8∶3,结果张家结余240元,李家结余270元。问每家各收入多少元?解一:我们采用“假设”方法求解。如果他们开支的钱数之比也是8∶5,那么结余的钱数之比也应是8∶5。张家结余240元,李家应结余x元。 240∶x=8∶5,x=150(元)。实际上李家结余270元,比150元多120元。这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差,每份是120÷(5-3)=60。(元)。因此可求出解二:设张家收入是8份,李家收入是5份。张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多。我们画出一个示意图: 张家开支的3倍是(8份-240)×3。李家开支的8倍是(5份-270)×8。从图上可以看出5×8-8×3=16份,相当于 270×8-240×3=1440(元)。因此每份是1440÷16=90(元)。张家收入是90×8=720(元),李家收入是90×5=450(元)。本题也可以列出比例式:(8x-240)∶(5x-270)=8∶3。然后求出x。事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些。【例4】A和B两个数的比是8∶5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数。解:减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分利用这一点。8∶5,就是8份与5份,两者相差3份。减去34后,A是B的2倍,就是2∶1,两者相差1。将前项与后项都乘以3,即2∶1=6∶3,使两者也相差3份。现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份)。因此,每份是34∶2=17。A数是17×8=136,B数是17×5=85。本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2∶1,改写成8∶4。【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4∶3,小明又买来15张。小强用掉了8张,现有的图画纸之比是5∶2。问原来两人各有多少张图画纸?解一:充分利用已知数据的特殊性。4+3=7,5+2=7,15-8=7。原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7张,因此,新的1份=原来1份+1原来4份,新的5份,5-4=1,因此,新的1份有15-1×4=11(张)。小明原有图画纸11×5-15=40(张),小强原有图画纸11×2+8=30(张)。解二:我们也可采用例13解一的“假设”方法。先要将两个比中的前项化成同一个数(实际上就是通分) 4∶3=20∶15,5∶2=20∶8。假设小强也买来15×3/4=45/4(张),那么变化后的比仍应是20:15,但现在是20:8,因此这个比的每一份是(45/8+8)÷(15-8)=11/4。小明现有20×11/4=55(张),原有55-15=40(张);小强现有8×11/4=22(张),原有22+8=30(张)。当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。解三:设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸。把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等。我们可以画出如下示意图:从图上可以看出,3×5-4×2=7(份)相当于图画纸15×2+8×5=70(张)。因此每份