文档介绍：数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第八章Legendre多项式球函数——球坐标系下的分离变量法及其应用引言前几章中,已经应用分离变量法求解了一些定解问题。分离变量法实质上是将偏微分方程化为常微分方程,经过分离变量法后出现的常微分方程有时是变系数的方程。变系数的常微分方程的求解一般来说是困难的,但在求解数理方程时出现的变系数ODE有时往往有一些特殊性,这使得可以求出它们的通解。在采用极坐标系求解区域内的Laplace方程时就得到Euler方程,其通解易求得。除此之外,在另一些使用分离变量法的场合,也会得到一些别的规律形式的变系数常微分方程。如在球坐标系下分离变量法可引出Legendre方程。而在柱坐标系下分离变量法可得到Bessel方程,而一般情况下这些特殊方程的解不能用初等函数来表示,从而引入一类函数称为特殊函数,从本章开始将讨论这些问题。在球坐标系中求解数理方程时会遇到一类特殊函数,这些函数的多项式形式最早由法国数学家Legendre(1752-1833)专门进行研究过,故命名这类函数为Legendre函数及Legendre多项式,目前Legendre函数在解方程式中的应用已极其普遍,我们有必要对其进行详细研究,主要讨论方程的导出,性质以及在解数理方程中的应用。,f为已知三元连续函数,以其为模型在球坐标系下进行推导即可得出Legendre方程。引入球坐标变换则球坐标系下的Legendre方程为:边界条件变为应用分离变量法求上述定解问题令,则代入球坐标系下Legendre方程有两边同时乘以有:即左端只是r的函数,右端只是的函数,要相等只有它们全等于常数。有即此方程之解与无关(半径),故称为球面函数,简称球函数。再令代入方程有两边同乘以有即有对有令,则按习惯令,,则有------称为连带Lengendre微分方程取则得方程-----,故以此得名。实际上以后将会看到这样取值的好处(方程在闭区间【-1,1】上要有非零解,或满足自然边界条件的非零解(有解)),于是上述微分方程为:------n阶连带Lengendre微分方程-----n阶Lengendre微分方程球坐标系下的波动方程、热导方程、Laplace方程均能导出Lengendre微分方程,实质上:球坐标系下亥姆霍兹方程(Helmhotz)即可导出之。,本节求该方程的解,求Legendre方程的本征值、本征函数。Legendre方程为:其中为(由于实际应用中为整数时情况最为重要,故这里不考虑为复数的时情况)根据常微分方程理论,设方程为,若、都能在的某个邻域内能展成的幂级数,则在这个邻域由方程有如下形式幂级数解,其中为待定常数。Legendre方程可写为:,显然当时,都可展开为的幂级数,故Legendre方程有幂级数解。以下来确定,代入方程得即,或上式对中的一切成立,因此必须每一次的系数都等于0即于是,可把一切表示为的倍数,一切表示为的倍数,而、可取任意值。,或代入有从系数的递推公式易证这两个级数的收敛半径均为1,又是任意常数,取则得是Legendre方程的解,同理也是Legendre方程的解,而线性无关,因此就是Legendre方程在内的通解。,常常要求Legendre方程在上有界的非零解,而从和的表达式可看出当不是整数时,和都是无穷级数,在内是收敛的但可以证明在时发散,且当时,和,故此时Legendre方程在上没有有界解。当是整数时,和就成为多项式。如当是正偶数(或负奇数)时,为(或)次多项式,而为次(或)次多项式,为无穷级数,因多项式在上是有界的,因而当为整数时这种特殊情况重要,现在就给出这个多项式的表达式。当为正整数时,为得到Legendre方程的一个多项式解,将递推公式改写为:这样可通过多项式的最高次项系数来表示其它各项的系数,