文档介绍：中篇
3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组,
设A是m´n矩阵B是n´s矩阵. A的列向量组为a1, a2,¼ ,an,B的列向量组为b1, b2,¼ ,bs, AB的列向量组为g1, g2,¼ ,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:
① AB的每个列向量组为gi=Abi,i=1,2,¼,s.
即A(b1, b2,¼ ,bs)= (Ab1,Ab2,¼ ,Abs).
② b=(b1,b2, ¼,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+ ¼+bnan.
应用这两个性质可以得到:
乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组为a1, a2,¼ ,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bI的各分量.
类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.
以上规律在一般教材都没有强调,(有助于了解代数学中各部分内容的联系).
用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.
单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.
数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.
两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.
4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)
(1) 矩阵方程
矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.
(I) AX=B. (II) XA=B.
其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.
当B只有一列时,(I), B=(b1, b2,¼ ,bs),则 X也有s列,记X=(c1, c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2, ¼,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=,可同时求解,即得
(I)的解法:
将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.
(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=(I)的方法求出XT,转置得X..
矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.
(2) 可逆矩阵
定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.
此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.
矩阵可逆性的判别:
① n阶矩阵A可逆Û|A|¹0.
② n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=EÛBA=E.)
可逆矩阵有以下性质:
①如果A可逆,则
A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.
AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.
当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.
对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.
(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k