文档介绍：:..§1消元法教学目的:让学生掌握线性方程组的初等变换以及线性方程组的解的不同情况。重点:利用定理判定线性方程组的解的不同情况。难点:判定线性方程组的解的不同情况。课时:2学时教学方法:讲授法教学内容:一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组•所谓一般线性方程组是指形式为a]lxl+a[2x2+…+ =b\,。2]兀1+a22x2++ =b2,〔色內+色2勺+…+知£=bS (J)的方程组,其屮”兀2,…,兀”代表料个未知量,$是方程的个数,知・(心1,2,…尼丿上1,2,・・・“)称为线性方程组的系数,bj(j=\,2,…⑶,表示它在第「个方程,⑴的一个解就是指由斤个数k民,…出组成的有序数组&,©,•••&),当兀],兀2,…,兀”分别用代入后,⑴(1),或者说,,,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了•确切地说,线性方程组(1)可以用下而的矩阵'0||5■♦02…°22…■■a2n••■■•■冬2…•5■bs)⑵来表示•实际上,有了(2)之后,除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的•在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性•下面就来介绍如何用一-般消元法解一-,解方程组2x}一兀2+3兀3=1,v4旺+2x2+5x3=4,2x}+七+2x3=,第三个方程减去第一个方程,就变成2兀]一兀2+3®-1,*4x2-x3=2,2x2一兀3=,把第二第三两个方程的次序互换,即得2兀]一兀2+3兀3=1,*2兀2_兀3二4,兀3=—6•这样,就容易求岀方程组的解为(9,・1,・6)・分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换,而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成:;;,2,、,,如何利用初等变换来解-•⑴,】,・・・,%全为零,那么方程组(1)对坷没有任何限制,坷就可以取任何值,而方程组(1)可以看作花,…,,那么利用初等变换3,可以设如工°・利用初等变换2,分别把第一个方程的即倍加到第,个方程(心2,…屮).于是方程组(1)就变成⑷內+%2兀2+・・・+%九=5,6Z;2x2+•••+<,%„=b;.血勺+…+仆=b;、其中a;=知~—'cl\j»i=2,•••,$,j=2,…,na\\这样,解方程组(1)的问题就归结为解方程组°;2兀2+・・・+d;X”二方:0;2兀2 =5,(4)的问题•显然(4)的一个解,代入(3)的第一个方程就定出西的值,这就得出(3)的一个解;(3)的解显然都是⑷,方程组(3)有解的充耍条件为方程组(4)有解,而⑶与⑴是同解的,因乙方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)(4)再按上面的考虑进行变换,并H这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组•为了讨论起来方便,不妨设所得的方程组为+口2兀2+•••+:「兀「+・・・+口“尤“=/,C22^2+•••+ +•…+C2nXn=d2,S£+・・・+c”£=d,.,0=d’+i0==0,(5)其中5工0,21,2,…八方程组⑸中的“o=o”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)⑴与⑸(5)(5)中有方程°=心,而〃冲H°.这时不管西,兀2,…,(5)无解,因而(1)(5)中根本没有“0=0”的方程时,分两种情况:1)这吋阶梯形方程组为Ch州+52兀2+.・・+口“兀「=£c22x2+---+c2/,x„=t/2CnnXn=心, ⑹其中5工0,心1,2,…,化由最后一个方程开始,©,兀I,…,E的值就可以逐个地唯一决定了•在这个情形,方程