文档介绍：--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________高中数学解三角形最值三角形中的最值(或范围)问题解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。类型一:建立目标函数后,△ABC中,分别是内角的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求角A的大小;(2):已知向量,,且,其中是△ABC的内角,分别是角的对边.(1)求角的大小;(2):由,得a+b—c=ab=2abcosC所以cosC=,从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时,⊿ABC中,若有2R(sinA—sinC)=(a—b)sinB成立,试求⊿ABC的面积S的最大值。解:根据题意得:2R(—)=(a—b)*化简可得c=a+b—ab,由余弦定理可得:C=45,A+B=135S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135—A)=(sin(2A+45)+1∵0<A<135∴45<2A+45<315∴当2A+45=90即A=15时,S取得最大值。类型二:利用重要不等式来解决例2(13年重庆中学)在中,角A,B,C的对边分别为且.(1)若,且<,求的值.(2)求的面积的最大值。解(1)由余弦定理,∴∴,又∵<,解方程组得或(舍).∴(2)由余弦定理,∴∵∴,又∴⊿ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=,且=(1)求B和b的值;(2)求⊿ABC面积的最大值解:由已知=,整理可得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=∴B=60∵R=,∴b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-osB即9=a+c-os60∴9+ac=a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=∴三角形得面积的最大值是变式4:⊿ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案:=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=sinA≤∵0<C<A∴0<C≤===(b+)≥,故0<C≤30练****1、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,<C<且=。(1)判断△ABC的性状;(2)若|+|=2,求·:(1)由=及正弦定理得sinB=sin2C,∴B=2C,且B+2C=π,若B=2C,<C<,∴π<B<π,B+C>π(舍);∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵|+|=2,∴a2+c2+2ac·cosB=4,∴cosB=(∵a=c),而cosB=-cos2C,<C<,∴<cosB<1,∴1<a2<,又·=accosB=2-a2,∴·∈(,1).2、在△ABC中,cos2=,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为():∵cos2=,∴=,∴cosB=,∴=,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△:B3、在ABC中,sin(C-A)=1,sinB=。(I)求sinA的值;(II)设AC=,求ABC的面积。解:(I)由知。又所以即故(II)由(I)得:又由正弦定理,得:,角,,所对应的边分别为,,,且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ),分别为内角的对边,且(Ⅰ)求的大小;.(Ⅱ)若,.(2012陕西)在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为(C).(2014新标1)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为.【解析】由且,即,由及正弦定理得:∴,故,∴,∴,∴,8.(2012安徽文)设的内角所对的边为,且有(Ⅰ)求角的大小;(II)若,,为的中点,求的长。【答案】(Ⅰ);(II)9.(2014新标2文)四边形的内角与互补,.(1)求和;(2)求四边形的面积.【答案】