文档介绍：--------------------------校验:_____________-----------------------日期:_____________第二类曲面积分的计算方法第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法,参数法,单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式,Stokes公式,积分区间对称性,,在曲面积分的计算中,综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧,在第二型曲面积分的学****过程中,必须在理解概念和性质的同时,,计算方法灵活多变,而且涉及的数学知识面广,掌握起来有一定的难度,而且是数学分析学****中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难,因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用,力图使学生能计算第二型曲面积分,并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系,让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为)的速度为,∑是一光滑的有向曲面,求单位时间内从曲面∑,而流速是常向量,指定侧的单位法向量则若为曲面,流速不是常向量,则用下面的方法计算流量.(1)分割将任意分成小块同时代表其面积.(2)近似,以点处的流速和单位法向量分别代替上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过指定侧的流量的近似值:(3)求和(4),(方向性),则在上的第二型曲面积分也存在,(线性性)若存在,则有=,(曲面可加性)若曲面是由两两无公共内点的曲面块所组成,且存在,,,是在面上的投影;是在面上的投影;、可负、,:称为对坐标的曲面积分;称为对坐标的曲面积分;,当曲面的侧确定之后,,并以上侧为正侧,为上的连续函数,(1)由曲面面积公式,其中是曲面的法线方向与轴正向的交角,,,,在内必存在一点,(2)现在以表示曲面在点的法线方向与轴正向夹角的余弦,则由的连续性,可推得当时,(3)这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号,,:(4)(5)3介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中,有关曲面积分,尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题,学生在学****过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性,它既要考虑到曲面的形状及其投影区域,又要注意到曲面的侧;另一方面,,参数法,单一坐标平面投影法,分项投影法,利用高斯公式求解,利用公式求解,利用积分区间对称性,,则存在,且有计算公式:其中表示在面上的投影区域,当曲面取上侧时公式的右端取“”号,取下侧时取“”,计算曲面积分时,只要把其中变量换为表示∑的函数,然后在的投影区域上计算二重积分,并考虑到符号的选取即可,这一过程可总结成口诀:“一代二投三定向”.类似地,如果曲面的方程,则如果曲面∑的方程为,则例1计算积分:其中是球面在第一、八卦限的部分,取球面外侧.(如图)解设,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:∶=∶=—它们在面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分.∴+图计算第二型曲面积分时,千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的,所以在计