对称变换和对称矩阵 【新整理】.ppt

文档介绍：对称变换和对称矩阵定义1:设是欧氏空间V的一个线性变换。如果,有,则称是一个对称变换。V,?????????)(,),(??????欲证是对称变换,即证:(1)是线性变换;(2),有。V,?????????)(,),(??????????定义2:设A是数域F上的阶矩阵,如果,则称A是一个对称矩阵。nAA??:设是维欧氏空间V的一个对称变换。是V的任意一个规范正交基。关于这个基的矩阵,则A是一个对称矩阵。n},,,{21n????nnija??)(A定理:维欧氏空间V的对称变换关于任意一个规范正交基的矩阵是一个实对称矩阵。?n??:设是维欧氏空间V的一个线性变换。如果关于V的任意一个规范正交基的矩阵是对称矩阵,则是一个对称变换。+:维欧氏空间V的一个线性变换是对称变换的充要条件是关于V的任意一个规范正交基的矩阵是实对称矩阵。n?????:实对称矩阵的特征根都是实数。:维欧氏空间V的一个对称变换的属于不同的本征值的本征向量彼此正交。n?:设是维欧氏空间V的一个对称变换,则存在V的一个规范正交基,使得关于该基的矩阵是对角矩阵。:设A是阶实对称矩阵,那么存在一个阶正交矩阵,使得是对角矩阵。nnUAUU???求正交矩阵的步骤:U(1)求出所给实对称矩阵A的特征值;r???,,,21?(2)对于每一个,求出齐次线性方程组的一个基础解系;),,2,1(rii?????12000inxxI Ax?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???(3)将这个基实行正交单位化,作为矩阵的列向量,则即为所求。UU例1、设,求一个正交矩阵阵,使得具有对角形式???????????422242224AUAUU?例2、已知为正交矩阵。证明:也是正交矩阵。A*A练****设,求一个正交矩阵,使得是对角矩阵。???????????????0111-101-111-011-110AUAUU?第八章小结一、欧氏空间 1、内积的定义,会根据所给的内积判断是否作成欧氏空间。 2、欧氏空间的内积法则。 3、欧氏空间内积的性质(5条)。 4、长度、夹角、正交、距离的定义。 5、—。nR