文档介绍：其中P阶泰勒方法若取前三项,可得到截断误差为O(h3)的公式类似地,若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值,便得到2019/11/91显然p=1时,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的,尤其当f(x,y)较复杂时,其高阶导数会很复杂。因此,利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2019/11/-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2019/11/93于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式,构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合,从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值,然后将其进行加权平均作为平均斜率,则可构造出更高精度的计算格式,这就是龙格—库塔(Runge-Kutta)法的基本思想。2019/11/95一般龙格-库塔方法的形式为**其中ai,bij,ci为待定参数,要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开,通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格-库塔方法。Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x),在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理,有即2019/11/97引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2019/11/98如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2019/11/—库塔法在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K,即式中:K1为xi点处的切线斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1,即可得确定系数c1、c2、a2、b21,可得到有2阶精度的算法格式2019/11/910