文档介绍：2016-11-: 2. 4. 8. : 8. :P37—53预习:P54—60作业2016-11-112第五讲函数可积性一、定积分的概念二、可积性条件与可积类2016-11-113一、定积分的概念黎曼积分定义:??,max,)(:],,[;),,1(],[:],[,],[,],[:11111110knknkkkkkkkkkkknkkxxfxxxxxnkxxkbxxxxxababaRbaf????????????????????????????记构造和式任取长度为的个小区间记第中插入一组分点即在作任意划分对区间设函数???2016-11-114.],[)(];,[,],[,)(lim10上的定积分在称此极限值为并且记上可积在称则存在如果和式极限baxfbaRfbafxfnkkk???????knkkbaxfdxxf?????????)(lim)(10记作:积分上限积分下限],[ba称为积分区间定积分是:积分和式的极限2016-11-115??badxxfA)(??badttvs)([例如] 曲边梯形的面积变速直线运动的路程”定义:定积分的“?????就有只要的任意取法及点的任意划分使得对,max,],[,0,01??????????????inikxba????????nkkkIxf1)(.],[)(上的定积分在是则称baxfI2016-11-116上不可积在为无理数为有理数函数证明例]1,0[01)(]1[????xxxDDirichlet[证]??nkkx0]1,0[?的一个划分任给),,1(],[1nkxxkkk????是有理数任取?),,1(],[1nkxxkkk????是无理数另取?1)(11???????nkknkkkxxD???0)(1????nkkkxD??1)(lim10?????nkkkxD???0)(lim10?????nkkkxD???上不可积函数在故]1,0[Dirichlet2016-11-117?10]2[dxex计算定积分例[解]nxnk1,]1,0[??得等分将)1,,2,1,0(???nknkk??取?????101nknneSnk构造和式)1(11nene???????101nknken)1(1lim110nenedxenx???????问这个做法对不对1??e关键定积分的存在性2016-11-118定积分作为黎曼和式的极限,其构造十分复杂,因此想计算这个和式的极限来研究定积分,实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性,首先是简化和式结构,把“两个任意”(任分任取)简化为“一个任意”(任分)这就是达布上和与下和的来由。三、可积性条件与可积类2016-11-119abxyo)(xfy?(一)可积条件2016-11-1110定义:(达布上和与下和)??????:,,2,1,)()(,],[,],[)(],[],[011则称和式记的一个划分是上有界函数是设nkxfInfmxfSupMbaxTbaxfkkkkxxxkxxxknkk?????????????nkkkxMTfS1),(????nkkkxmTfs1),(?达布上和(大和)达布下和(小和)[注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的这是上和、下和与积分和的主要区别