计算方法 微分方程数值解.doc

文档介绍：、常微分方程初值问题●一般形式式中已知,称为初值条件.●初值问题的数值方法和数值解求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法,,:●单步法:计算时只用到一个值;●多步法:计算时要用多个值。数值解法还有显格式和隐格式之分。●微分方程离散化方法主要有数值微分法,数值积分法和Taylor展开法1)数值微分法由,用数值微分的2点前差公式代替,得近似离散化方程记,做,“”,得差分方程即(Euler公式))数值积分法在上对两边取定积分,得右端积分用左矩形公式(数值积分公式)得于是得到求初值问题的Euler方法右端积分用右矩形公式(数值积分公式)(数值积分公式)得近似离散化方程:)Taylor展开法因为初值问题中函数是已知函数,由,可以计算,,…,于是有函数在处的Taylor展式取上式右端前若干项,:.、阶与绝对稳定性单步法数学描述为显式:其中称为增量函数.●显式单步法的一些概念定义1称为单步法在节点的整体截断误差,而称为在点的局部截断误差。表示解在的值,是准确值,没有误差;表示由数值解公式得出的近似值,是数值解,有截断误差.●局部截断误差的理解假设在计算时没有误差()下,计算出的()与的误差(计算一步的误差).,方法越好.●局部截断误差的主项如果某方法是p阶方法,,局部截断误差的主项越小,,有将在点展开, 该单步公式的局部截断误差是故局部截断误差主项是,,于以后各上产生的偏差均不超过,则称该数值方法是稳定的。