文档介绍：例谈中学不等式的证明方法(赵海燕)普片多西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:本论文就高中不等式,介绍了9种证明不等式的方法,分别是比较法、均值法、判别法、反证法、换元法、函数法、分析法、放缩法、综合法,:不等式;综合法;比较法;分析法;反证法ATalkAbouttheMethodsofProvingInequalityofMiddleSchoolwithExamplesPianduoPuSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:Accordingtotheinequalityofmiddleschool,、meanmethod、discriminantmethod、analysismethod、integrationmethod、magnifyingorreducingmethod、themethodofproofingbycontradiction、:inequality;integrationmethod;omparisonmethod;analysismethod;proofbycontradiction引言现实世界中的量有相等关系,也有不等关系,凡是与比较量的大小有关的问题,都要用到不等式的知识。不等式在解决最优优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用,它是学****和研究现代科学和技术的一个基本工具。不等式在中学数学中占有重要地位,因此在历年高考中颇为重视。中学不等式的问题主要有两大类,一类是含未知数的不等式的求解问题;另一类就是不等式的证明问题。所谓证明不等式,意在推出这个不等式对其中字母的所有允许值都成立或推出数值不等式成立。由于不等式的形式各异,所以证明没有固定的程序可循,技巧多样,方法灵活因此不等式的证明是中学数学的难点之一。为了突破难点,我认为有必要对一些常见的证明方法和典型的例题进行一些思考、研究和总结。在多年学****中,我经过反复推敲和研究,总结了下列诸种行之有效的方法,现写出来,希望能为不等式的教学提供一些借鉴。不等式的证明方法比较法证明不等式定义:所谓比较法,就是通过两个实数与的差或商的符号(范围)确定与大小关系的方法,即通过“,,;或,,”来确定,大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法。比较法证明不等式的思路:一般对于多项式类和分式类的用作差比较法,,作商时商与比较。例1:已知aR,求证:分析:两个多项式的大小比较可用作差法证明:3 =3=由知,0,又二次三项式的首项系数1>0,判别式,∴恒成立,,∴点评:此例题用到了比较法的作差法,通过作差变形达到比较的目的。例2:,求证:分析:对于含有幂指数类的用作商法证明:,当时,a-b>0,∴,当时,a-b=0,∴当时,a-b<0,∴∴时,1,即点评:两式均为单项式且均为正时,用商比比较好。例3:设a>0,b>0,求证分析:由于a>0,b>0,所以求证的不等式的两边的值都大于零,本题用作差法、:而作商法则有:证法一:0恒成立,且已知a>0,b>0,∴0,∴证法二:由知,,∴点评:同样一个题目虽然都用了比较法,但前一种是作差法,第二种是作商法,对此我们要根据需要学会灵活做题。利用均值不等式法均值不等式公式:①(当且仅当时取“”);②(当且仅当时取“”)。推广:①(当且仅当=时取“”);②当,,为正数时,(当且仅当时取“”)。两端的结构、数字具有如下特征:次数相等;②项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等;③一边为和一边为积;当要证的不等式具有上述特征时,考虑用均值不等式证明例4:已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>:观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6项,左和右积,具备均值不等式的特征。证明:∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理,b(c2+a2)≥2bac,c(a2+b2)≥2cab,又因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中等号不能同时成立,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。例5:若,且,求证。分析:由,联想均值不等式成立的条件,并把代换中的“1”,要证不等式变为即亦即