文档介绍：第22课

单侧假设(续)
继续证明上一课的定理,即证明对于δ∈ Kα,
∗,满足
Π≥Π()δ,θδ( ,θ) θ> θ0
令θ> θ0 ,考虑两个简单的假设:
hp::== p且 hp p
102θ0
下面要找到类型 1 误差等于α的最大功效检验
已知如存在极限 b ,使得
⎛⎞fX( θ0 )
Ρ<⎜⎟b =α
θ0 ⎜⎟
⎝⎠fX()θ
则下面的检验δθ:
⎧ fX( θ0 )
⎪hb1 : ≥
⎪ fX()θ
δθ= ⎨
⎪ fX()θ0
⎪hb2 : <
⎩ fX()θ
即为所需要的最大功效检验。
但单调似然比隐含着:
fX()θθ0 fX( ) 11
<⇔bV > ⇔()T,,θθ0 >
fX()θθ fX()0 bb
由于θ> θ0 ,函数VT(),,θθ0 对于T 是严格单调增加的,因此,可以通过解不等式
得到T ,Tc> b
检验δθ的类型误差可表示如下:
⎛⎞fX()θ0
Ρ<=⎜⎟bTΡ()>c
θθ00⎜⎟b
⎝⎠fX()θ
但之前已设误差α=ΡTc > ,即c 应为:
θ0 () b
Ρ>=Ρ>⇒=Tc
θθ00()bb( )
于是证明了检验δθ:
⎧hT1 : ≤ c
δθ= ⎨
⎩hT2 : > c
为最大功效检验,类型 1 误差等于α。
∗
但是δθ与δ完全相同与θ无关。这就意味着在两个简单假设θ0 与θ之间决定
时,应始终遵循相同的最大功效决策规则δ∗,即δ∗为一致最大功效检验——也就是
我们要证明的。注意到单调似然比(MLR)在这里起到了关键作用。正是由于 MLR 的
存在,决策规则δθ才独立于θ,如果对不同的θ有不同的δθ,对复合假设就没有一
致最大功效(UMP)了,对不同的θ应用不同的决策规则会更有优势。
例:正态分布族 N (μ,1),均值μ为未知参数,μ0 已知,给出某一μ0 考虑单侧
假设
HH102::μ≤μμ且> μ0
n
正如前面已证明的,对TX= X,正态分布集 N μ,1 有单调似然比。于
()∑i=1 i ( )
是显著水平为α的一致最大功效检验如下:
n
⎧HX: ≤ c
⎪ 1 ∑i=1 i
δ∗=
⎨ n
⎪HX: > c
⎩ 2 ∑i=1 i
极限 c 取决于:
α=ΡTc > =Ρ X > c
μμ00( ) (∑ i )
若样本来自正态分布 N (μ0 ,1) ,则T 的分布为 Nn( μ0 , n) ,且
1 n

YXN=−∑()(i μ0 ∼ 0,1)
n i=1
为标准正态分布,于是

⎛⎞⎛−μ⎞
αμ=ΡXc > =Ρ Y = X −> 0
μμ00⎜⎟⎜∑∑ii()0 ⎟
⎝⎠⎝ii==11nn⎠
因此利用标准正态分布表可找到 cα,使Ρ(Yc>=α) α,则:
cn−μ
0 ==+cc或μ n nc
n α 0 α
例: 正态分布集 2 ,方差 2 为未知参数,已知 2 ,考虑单侧假设
N (0,σ) σσ 0