文档介绍：伏建彬徐州高等师范学校(221116)(TEL:0516—83507409)摘要:1、函数的知识结构和基本概念;2、函数中的基本题型。关键词:函数知识及其应用。一、学好函数知识要掌握本章的知识结构和基本概念:概念函数的三要素(定义域、值域、对应法则)表示方法(列表法、解析法、图象法) 简单性质(单调性、奇偶性)映射的概念分数指数幂应用指数函数解析式、图象函数性质初等函数对数函数解析式、图象性质对数的运算性质幂函数解析式、图象性质函数与方程二、学好函数知识要掌握基本题型的解题技巧:1、函数的概念例1:已知函数y=f(x),x∈[a,b]且A={(x,y)∣y=f(x),x∈[a,b]},B={(x,y)∣x=1},则A∩B中所含的元素的个数是()(A)0(B)1(C)0或1(D)0,1或2解析:因为在函数定义域内,对每一个自变量x都有唯一确定的函数y与之相对应,故当1[a,b]时,A∩B=,当1∈[a,b]时,A∩B={(1,f(1))},含一个元素,故选C。评注:解函数概念题,要吃透函数的概念,深刻理解函数是一种特殊的映射。2、函数的图象例2:若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x∣x•f(x)<0}等于()解析:由f(x)为奇函数且f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以可以作出y=f(x)和y=x的草图(如左图),从图中可以看出本题的解集为:{x∣0<x<3或-3<x<0},选D(A){x∣x>3或-3<x<0}(B){x∣x<-3或0<x<3}(C){x∣x>3或x<-3}(D){x∣0<x<3或-3<x<0} 评注:函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便。本题是求解抽象函数不等式,往往先画出符合题意的草图,从图象变化规律、特殊点、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等各个角度来对图象进行分析,以寻求最佳解题方案。3、函数的定义域、值域例3:求函数的定义域和值域解:由1-2x≥0可得x≤∴所求函数的定义域为:{x∣x≤}令(t≥0)则有∴(t≥0)此二次函数对称轴为:t=-1由函数图象可知:故函数的值域为:{y∣}评注:求函数的定义域就是求使函数有意义的x的取值范围;求函数值域的方法很多,一般要先分析函数式的结构特征,再确定较简单的求值域的方法。4、函数的解析式例4:已知,求的解析式。解法一、令(t≥1)则∴(t≥1)故(x≥1)解法二、∵=-1令,则t≥1∴(t≥1)故(x≥1)评注:求函数解析式,除了本题用到的代换法和拼凑法之外,常用的还有待定系数法。5、函数的性质例5:是定义在R上的奇函数,在区间[-a,-b](a>b>0)上是减函数,且>0,求证:函数y=[]2在区间[b,a]上是增函数。证明:任取b≤x1<x2≤a则-a≤-x2<-x1≤-b∵在区间[-a,-b](a>b>0)上是减函数,且>0∴又∵是定义在R上的奇函数∴即∵幂函数y=x2在(-∞,0)上为减函数∴∴函数y=[]2在区间[b,a]上是增函数评注:此类题型,证明的主要依据是定义。首先需要把设在所证区间上的两个任意变量转化到已知函数单调性的区间上;其次再根据函数的奇偶性进行符号转化。6、初等函数的问题例6:求函数的定义域和值域。分析:求对数函数的定义域一定要注意真数大于0;考虑值域时一定要