文档介绍：§2柯西——古萨定理及其应用一、,且连续,则对任意简单闭曲线,有:。证明 解析,且连续,且它们均连续。从而,由格林公式,。推论若在一条简单闭曲线的内部及上解析,则。例1计算,其中曲线为正向圆周:。解奇点不在闭曲线内,在内,被积函数解析,从而,=0。——古萨基本定理定理 若在单连域内处处解析,则对任意闭曲线,有:。二、,必有:若在单连域内解析,则积分与路径无关。即此时,,其中称为上限,为下限。积分称为上限的函数,记为,并有:定理1若在单连域内处处解析,则为解析函数, =,在单连域内解析,。,即。从而,,于是,为解析函数,,则称为的原函数或不定积分。易见是的一个原函数,且任二原函数相差一常数。类似牛顿——莱布尼兹定理的证明,有:定理2若在单连域内解析,为的原函数,则。例2计算, 处处解析,从而,.,且,从而,、柯西——,如果⑴开闭不变;⑵方向不变;⑶,闭曲线的任意连续变形曲线为,则,:连,则由知:,.二式相加,得 ,即(*).例4证明:,,则。只有一个奇点,互为连续变形曲线,由原理知,.进一步,有:为任意包含点的闭曲线。注:由原理证明中的(*)式,若将视作一条复合闭路,其正向为外线逆时针,内线顺时针,则。进一步可由一般地:,简单闭曲线,且以其为边界()的区域也属于,诸互不相交,互不包含,但均在的内部,则⑴;⑵。注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法:⑴若在闭曲线所围域内解析,则