文档介绍：图形折叠问题 图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换,或者说是翻折。这类问题大都联系实际,内容丰富,解法灵活,具有开放性,有利于考查解题者的动手能力,空间观念和几何变换的思想。  例1. 折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠AD边与对角线BD重合,得折痕DG。若AB=2,BC=1,求AG。解:作GE⊥BD,垂足为E。设AG=x,则,易知,则GE=x,根据勾股定理可知,所以在中,由勾股定理得,解得   例2. 如图2,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是多少?解法一:设,则,在中,由勾股定理得,解得,即。连结BD,设BD与EF交于点O,易得,由题意可知EF是BD的中垂线,所以,EF⊥BD,在中,由勾股定理得,所以。解法二:求DE同上法,再作EG⊥BC,垂足为点G。易知,,所以,所以。    例3. 四边形ABCD是一块矩形纸片,E是AB上一点,且BE:EA=5:3,EC=,将△BCE沿折痕EC翻折,若点B恰好落在AD边上的点F上,求AB、BC的长。解:连结EF、FC、BF。设BF交EC于M。因为B、F关于EC对称,所以BF⊥EC,BE=EF,。设BE=5x,则。因为,所以因为,所以,所以,所以BC=30。所以,即,所以,所以。   例4. 如图4,一张宽为3,长为4的矩形纸片ABCD,先沿对角线BD对折,点C落在点的位置,交AD于G,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,则ME的长为多少?解法一:延长BA、交于F,由轴对称性质知。所以又因为,所以,所以。再根据EN是折痕可知:EN垂直平分AD,所以EN//AB。又因为M是AD中点,所以E是DF中点,所以EM是△DFA的中位线。令EM=x,则FA=2x,FD=FB=2x+3,所以。解得,即。解法二:连结GN,易证△BGD是等腰三角形。因为A点、D点关于EN对称,所以N是BD的中点,所以GN⊥BD,所以Rt△GND∽Rt△BAD,所以。而所以。又因为,所以又因为Rt△DME∽Rt△,所以,。   例5. 如图5,有一块面积为1的正方形ABCD,M、N分别为AD、BC边上的中点,将点C折至MN上,落在点P位置,折痕为BQ,连结PQ。(1)求MP;(2)求证:以PQ为边长的正方形面积等于。解:(1)连结BP、PC,把MN看作是正方形对折的折痕,则BP和PC关于MN对称,故BP=PC。因为C点和P点关于BQ(折痕)成轴对称,所以BQ垂直平分PC,所以BP=BC,∠CBQ=∠PBQ,所以BP=PC=BC=1,所以△PBC是等边三角形,所以∠CBQ=∠PBQ=30°。在Rt△BPN中,,所以。(2)证明:由折叠可知,。在Rt△QCB中,,所以以PQ为边长的正方形面积是。   例6. 如图6,把矩形ABCD对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕上,得到Rt△ABE,沿着EB线折叠得到△AEF,若矩形的宽CD=4,求△AEF的面积。解:由题意可知:EC//BN//AD。因为N是CD中点,所以B是EF中点。又因为∠EBA=90°,所以AB⊥EF,所以AB是EF的中垂线,所以AE=AF。因为AE是折痕,所以2∠EAB+∠BAF=90°,所以3∠EAB=90°所以∠EAB=30°,所以∠EAF=60°,所以△AEF是等边三角形。设BE=x,则AE=2x,又因为AB=4,所以,解得,所以,所以。   例7. 如图7,已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在处,交AD于E,AD=8,AB=4,求△BDE的面积。解:易证△BDE是等腰三角形,所以。作EF⊥BD,垂足为F,则。因为△BEF∽△,所以,又因为,,所以,所以。所以。   例8. 如图8,把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中,使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上。连结AC,且,。(1)求A、C两点的坐标;(2)求AC所在直线的函数解析式;(3)将纸片OABC折叠,使点A与点C重合(折痕为EF),求折叠后纸片重叠部分的面积。解:(1)因为,所以,即OA=2OC。因为,所以。所以点A的坐标是(8,0),点C的坐标是(0,4)。(2)设AC所在直线的函数解析式为y=kx+b,把A(8,0)、C(0,4)代入,得解得。所以AC所在直线的函数解析式为。(3)因为纸片OABC折叠后,点A与点C重合,所以折痕EF垂直平分AC,所以EC=EA。设EC=EA=t。因为,所以,解得t=5,所以,所以。