文档介绍：矩阵论公式总结1,特征值λ,特征向量x,特征矩阵λI-A,特征方程(λI-A)x=0,特征多项式:det(λI-A)=02,矩阵多项式:设特征多项式为f(λ)=asλs+asλs+…+a1λ1+a0;有矩阵多项式:f(λ)=asAs+asAs+…+a1A1+a0I。3,不同的λi对应不同xi线性无关;xi组成的向量组线性无关。4,det(A)=∏λi;a11+a22+…+ann=λ1+λ2+λ3…+λn5,AT的特征值与A的特征值相同,AH的特征值与为A的特征值的共轭转置。6,A,B皆为n阶方阵,则trAB=trBA7,相似P-1AP=B,A∽B8,相似的6条性质:反身性,传递性,特征多项式相等,同秩,矩阵多项式相等,特征值相等。9,A为n阶方阵,Λ为n阶对角阵,A∽Λ,则A可对角化10,A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。11,如果n阶方阵A有那个不同的特征向量,则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。Jordan标准形1,Jordan块:Ji=2,Jordan阵:J=3,A的Jordan标准形,设,则A与一个Jordan标准形J相似即存在P,有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定,称J为A的Jordan标准形。4,J的对角元素λ1,λ2,…λs,就是A的特征值。5,求J:(1)特征向量法:第一步,求A的特征值λi(i=1,2,…n)第二步,求A对应于λi的特征向量,有Si个线性无关的特征向量,就有Si个以λi为对角线元素的Jordan块,而这些Jordan块的阶数和为ri该方法只适用于3阶的矩阵A。(2)初等变换法,三种初等变换:交换2行/列;数乘;倍加。第一步:将A写成A(λ),即λI-A第二步:用初等变换法将矩阵化为如下形式:(smith标准型)其中di(λ)/di+1(λ)可整除第三步:将A的每个非1的(即次数不为0)不变因子di(λ)分解为互不相同的一次因式的几次幂的形式:(λ-λi)ri,其中Σri=r1+r2+…rs=n。(∏di(λ)为n)第四步:写出每个初等因子(λ-λi)ri对应的Jordan块。(注意:di(λ)=1时没有Jordan块)ri×ri,i=(1,2,…,s)对应J阵为【注:化简smith标准型时先尽量使得A中元素只涉及1和(λ-c)c’之后尽量使常数项1位于首1并使1行和1列的其他元素都为0,之后可根据行列式同一行/列公共因子外提得到smith型。】(3)行列式因子法:设A(λ)的秩为r,m×n阶,1≤k≤n,则A(λ)的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk(λ)称为A的k阶行列式因子。Dk(λ)=d1(λ)d2(λ)…dk(λ)。第一步:求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk(λ)。第二步:求dk(λ)(k=1,2,…,n)并并求出A的不变因子。【注:先求A的最高阶行列式即λⅠ-A=Dn(n阶行列式因子),再求A的所有次高阶非零子式,并求他们的最大公因式,得到Dn-1(n-1阶行列式因子),由Dn/Dn-1=dn(n阶不变因子),同理求出n个n阶不变因子,最后将不变因子拆成初等因子。得到Jordan块和Jordan阵。】6,求P,将P设为{p1,p2,…,pn}T,解方程组AP=JP。无解时利用待定系数法。7,计算Jik=8,求解一阶