构造组合模型巧证组合恒等式.doc

文档介绍：构造组合模型巧证组合恒等式甘肃省物资学校许军保证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,,很多组合恒等式,,把等式两边看成同一组问题的两种计算方法,由解的唯一性,::把满足条件的组合分为两类,一类为不取某个元素,:原式左端可看成一个班有个人,从中选出个人打扫卫生,在选出的个人中,人打扫教室,,,两种算法计算的是同一个问题,,但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路:先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型,(组合数)相加的形式,可以把构造的组合问题进行适当分类,如例1,若是几个数(组合数)相乘的形式,则应进行适当的分步计算,如例2,当然,:原式左边为m++n个元素分成两组,第一组为m个元素,剩下的n个元素为第二组,把取出的k个元素,按在第一组取出的元素个数i(i=0,1,2,…,k)进行分类,这一类的取法数为CimCk-,在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成ki=0CimCk-:原式右边为m+n+1个元素中取n+1个,元素的组合数,不失一般性,可以认为是在1,2,3,…,m+n,m+n+1,共m+n+1个数中取n++1个数a1,a2…,an+1由小到大排列,即设a1<a2<an+1,按取出的最大数an+1=k+1分类,显然k=n,n+1,…,n+=n+i时(i=0,1,2,…,m),n+i,所以取法总数又等于mi=0Cnn+,有时其左右两边所表示的意义都不易看出,但是如果根据组合数的特点仔细分析,或对原式进行一些适当的变形,往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型,+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-:注意,原式左端等价于C11C1n+C12C2n+…+n,这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个,再在这i个元素里选一个的组合数,可设一个班有n个同学,选出若干人(至少1人)组成一个代表团,(i=1,2,…,n),,先选团长,有n种选法,再决定剩下的n-1人是否参加,每人都有两种可能,所以团员的选法有2n--,并能用组合意义证明ni=0Cin=+22C2n+32C3n+…+n=n(n+1)2n-:本题左边与例5左边类似,不同的是例5左边为ni=1iCin,而本题为ni=,并且干事和团长可以是同一个人