文档介绍：级数敛散性判别方法的归纳(西北师大)摘要:无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分~它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具~目前~无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域~因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要~然而判定级数敛散性的方法太多~学者们一时很难把握~本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳~以期对学者们有所帮助。关键词:级数;收敛;判别;,,,形如un?u,u,?,u?12n,u常简称级数),用表示。无穷级数?的前n项之和,记为称为无穷级数(,nn,1nu,u,?,us,u=?,nn12nn,1称它为无穷级数的第n个部分和,也简称部分和。若无穷级数?的部分和数列,su,,,若级数的部分和发散则称级数v发,,nnnn,1散。研究无穷级数的收敛问题,首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理:uv(cudv)定理1若级数和都收敛,则对任意的常数c和d,级数,,,n,nnn(cudu)uv亦收敛,且=c+d,,,n,nnn定理2去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和。定理4级数?收敛的充要条件是:任给,0,总存在自然数N,使得当m,,u,u,?,up,N和任意的自然数,都有,m,1m,2m,p以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理,但是,在处理实际问题中,仅靠这些是远远不够的,所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法,这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性,以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数,正项级数收敛的充要条件是:部分和数列{}有界,即存在某正整数M,对一切正整数n有,M。从基本定理ssnn出发,我们可以由此建立一系列基本的判别法1比较判别法设和是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n,N都有uv,,nn,则u,vnn(i)级数收敛,则级数也收敛;vu,,nn(ii)若级数发散,则级数也发散。uv,,nn,,,证明:收敛(>0).aa,,nnnlnnn,2n,1,1122a(,)证明:因为0<<an,n2nn2lnn,1,,,11122易知:收敛(积分判别法),又收敛,所以aa(,)n,,,n22nlnnnn2lnnn,22,2n,收敛。,an由比较判别法知收敛(a>0).,nnlnnn,2,:级数都是条件收敛的。(,1)sin(,x,0),nn1,,xxxsin,0sinNN证:不妨设x>0,则>0,当n>时,0<<,此时,且{},xxnnn2xlimsin为单调递减数列,且=0。n,,n,x由莱布尼茨判别法知收敛。(,1)sin(,x,0),nn1,xsinxxnnsinNlim而当n>时,=>0,=1(,1)sinxn,,xnnn,,xx又发散,由比较判别法知也发散。sin,,nnn,1n,1,x,x,0所以,级数都是条件收敛的。(,1)sin(,x,0),nn1,,[,(1,,,?,)],n1!2!!n1,1111证:0<=<=.e,(1,,?,)abnnn,n!1!2!n!1bn(n,1),(n,1)!n,1=lim==0limlim2nn,,n,,,,1b