文档介绍：Wangwei-wei,XidianUniversityPage1of3411/14/20169:26:20AM第0章绪论一、三大空间的概念:距离空间,赋范线性空间,内积空间。二、掌握定义距离,范数,内积的几条公理并会验证;常用距离空间、赋范线性空间及内积空间的例子。三、会用范数定义内积,用内积定义范数。四、了解内积空间的正交概念及正交投影定理。五、了解完备的内积空间——Hilbert空间中的正交系及规范正交系的概念。?距离空间举例:??22[ , ] ( ) ( )baL a b x t x t dt? ???中距离:122( , ) ( ( ) ( ) )bad x y x t y t dt? ??;n维实向量空间nR中的距离:12221( , ) [ ( ) ]ni iid x y x y?? ??,1( , ) maxi ii nd x y x y????等;Wangwei-wei,XidianUniversityPage2of3411/14/20169:26:20AM[ , ]C a b中距离( , ) max ( ) ( )a t bd x y x t y t??? ?。?赋范线性空间:设E是线性空间,又在E上定义了范数,则称E为赋范线性空间,记作( , )E。?距离与范数的关系:在赋范线性空间中,由范数可以导出距离:( , )d x y x y?,因此赋范线性空间由范数导出的距离也构成了距离空间;反之满足一定条件可以。如,[ , ]C a b中范数[ , ]( ) max | ( ) |t a bf t f t??,由此定义的距离:[ , ]( ( ), ( )) ( ) ( ) max | ( ) ( ) |t a bd f t g t f t g t f t g t?? ???2[ , ]L a b中范数??1/22( ) | ( ) |baf t f t dt??,定义距离( ( ), ( ))d f t g t?Wangwei-wei,XidianUniversityPage3of3411/14/20169:26:20AM?矩阵的算子范数给出一种向量范数x???1, 2,?? ?,相应定义一个矩阵非负函数0=maxxAxAx????,称为矩阵的算子范数。常用矩阵的算子范数(1)A?—行范数;(2)1A—列范数;(3)??max2=TA A A?—2-范数。谱半径:设n nA R??的特征值为( 1, 2, )ii n???,称1( ) maxii nA? ????:设n nA R??,则( ) || ||A A??;A为对称矩阵,则2( ) || ||A A??.?内积空间的例子:nR中1( , )=ni iix y x y??;2[ , ]L a b中( ( ), ( ))= ( ) ( )baf t g t f t g t dt?内积可诱导范数= ( , )x x x举例:书上P27,20题(2)设1( ), ( ) [ , ]f x g x C a b?,问按定义( , ) ( ) ( ) ( ) ( )baf g f x g x dx f a g a? ?? ??是内积吗?为什么?Wangwei-wei,XidianUniversityPage4of3411/14/20169:26:20AM答:按定义( , )f g构成内积验证:(1)正定性2 2( , ) ( ) ( ) 0baf f f x dx f a?? ???,而( ) 0 ( )( , ) 0 ( ) 0( ) 0f x f x cf f f xf a?? ???? ? ?????(2)共轭性由于( , ) ( ) ( ) ( ) ( )baf g f x g x dx f a g a? ?? ??而( , ) ( ) ( ) ( ) ( )bag f g x f x dx g a f a? ?? ??( ) ( ) ( ) ( )bag x f x dx g a f a? ?? ??( ) ( )