文档介绍：最优控制原理
目录(1/1)
目录
最优控制概述
变分法
变分法在最优控制中的应用
极大值原理
线性二次型最优控制
动态规划与离散系统最优控制
Matlab问题
本章小结
变分法在最优控制中的应用(1/2)
变分法在最优控制中的应用
(微分方程)约束、目标集的等式或不等式约束、以及容许控制的开集或闭集性约束的泛函极值问题。
本节将基于泛函极值问题的欧拉方程和横截条件,讨论最优控制中的泛函极值问题求解。
内容为
变分法在最优控制中的应用(2/2)
具有等式约束条件下的变分问题
末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题
末态时刻和末态固定的问题
末态时刻固定、末态受约束的问题
末态时刻未定的问题
具有等式约束条件下的变分问题(1/10)
具有等式约束条件下的变分问题
具有等式约束条件下,多个宗量函数的泛函极值问题可表示如下。
等式约束变分问题寻找一条连续可微的极值曲线,使性能泛函
达到极值,极值曲线x(t)满足微分方程形式的等式约束
式中, 为m维(mn)关于t,x和的非线性向量函数。
具有等式约束条件下的变分问题(2/10)
这里,极值曲线x(t)除满足边界条件和古典变分学中规定的连续可微条件外,还须满足该等式约束条件。
由于动态系统的状态方程可归为等式约束,因此该等式约束变分问题是研究最优控制的基础。
下面就给出并证明处理等式约束变分问题的等式约束变分定理。
具有等式约束条件下的变分问题(3/10)—定理7-4
定理7-4(等式约束变分定理) 如果n维向量函数x(t)能使等式约束变分问题取极值,那么,必存在待定的m维拉格朗日乘子向量函数(t),使泛函
达到无条件极值,即极值曲线x(t)是上述泛函所满足的欧拉方程
和等式约束条件(7-47)的解,其中
具有等式约束条件下的变分问题(4/10)
引进拉格朗日乘子可以将泛函的条件极值问题化为一个无条件的极值问题,基于前面的变分法原理可以证明等式约束变分定理(略)。
引入该定理的作用,仅仅是表明泛函J在等式约束条件下的极值曲线x(t),同时使得泛函J和J1达到无条件极值。
在后面还要详细讲解具有约束条件下求解极值问题的泛函变分问题。
具有等式约束条件下的变分问题(5/10)—例7-6
上述欧拉方程和约束条件共有n+m个方程,恰好可以解出n+m个未知函数x(t)和(t)。
通过边界条件确定x(t)和(t)中的积分常数。
随着终端条件的不同,边界条件也不同。
。
例7-6 火箭在自由空间里的运动作用可用下列微分方程描述
式中,u(t)为推力;
(t)为角位移。
具有等式约束条件下的变分问题(6/10)
令x1(t)=(t),x2(t)=(t),可建立状态方程如下
试求控制函数u(t),使系统从初始状态
经过t=2s转移到状态空间原点,即
且使如下性能指标取极小。