文档介绍：第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分,一种是对面积的曲面积分(一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质(,,)xyz设有一曲面型构件的物体,在点处的密度为,求此物体的质量(,,,fx,y,zin,1,2,求解的方法是,将曲面分为若干个小块(),其面积分别记为,,,iin,1,2,(),在小块曲面上任意取一点,若密度函数是,,M,,,,,,S,,,,fx,y,ziiiii连续变化的则可以用点处的密度近似小块上的密度(于是小块的质量,,M,,,,,,S,,iiiii为,将所有这样的小块的面积加起来,就是物体的质量的近似值(即,,f,,,,,,Siiiin,,m,f,,,,,,S,iiii,1i当个小的曲面的直径的最大值时,上面的式子右端的极限值如果存在,则将此,,0n极限值定义为曲面的质量(即n,,m,limf,,,,,,S(,iiii,,0i,1总之,以上解决问题的方法就是:先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,((或分片光滑曲面),上的有界函数(将曲,,fx,y,zin,1,2,,面分为若干个小块(),其面积分别记为,在小块曲面,,,Si,1,2,...,n,,,,iii上任意取一点,若极限,,M,,,,,iiin,,limf,,,,,,S,iiii,,0i,1存在,则称此极限值为函数在曲面,上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积,,fx,y,z分)(记为(即,,fx,y,zds,,,n,,limf,,,,,,S=(,,fx,y,zds,iiii,,,,0,1i,,,其中表示所有小曲面的最大直径,称为被积函数,称为积分曲面(,,,,fx,y,zi对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质(如11);,,,,,,,,,,fx,y,z,gx,y,zds,fx,y,zds,gx,y,zds,,,,,,,,,,,,,2)kfx,y,zds,kfx,y,zds;,,,,,,3)(,,,,,,fx,y,zds,fx,y,zds,fx,y,zds,,,,,,,,,,,1212二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算确定,曲面在坐标面上的投影为,函数设积分曲面由单值函数Dxoy,,z,zx,yxy在具有连续偏导数(即曲面是光滑曲面)(按照对面积的曲面积分的定义D,,,z,zx,yxy有n,,,,fx,y,zdS,limf,,,,,,S(,iiii,,,,0,1i,设对曲面的第块在坐标面上的投影为,则可以表示为下面的二,xoy,,,,,Si,,iii重积分:22,,,,,S,1,fx,y,z,fx,y,zdxdyixy,,,,,,i有二重积分的中值定理有22,,,,,S,1,z,,,,,,z,,,,,,,ixiiiyiiii其中是小曲面上的任意一点,为内任意一点,所以,,,,,,,,,,,,S,,,,,iiiiiiin22,,,,fx,y,zdS,limf,,,,,,,,,1,z,,,,,,z,,,,,,,,iiixiiiyiiii,,,,0,1i,注意到,从而得到二重积分的计算公式,,,,z,,,iii22,,,,,,,,,,fx,y,zdS,fx,y,zx,y1,zx,y,zx,ydxdy(xy,,,,,Dxy这个公式是很容易理解和记忆的,因为曲面,的方程是,曲面的面积元素,,z,zx,y22为,曲面在坐标面XOY上的投影是D,于是对面积的曲面积分dS,1,z,zdxdyxyxy就化为二重积分了(将这个过程简单归纳如下:1)用x,y的函数代替;,,z,zx,yz22dS2)用1,z,zdxdy换;xyXOYD3)将曲面投影到坐标面上得到投影(xy2简单地说就是“一代二换三投影”(,其中曲面是由平面截球面,,,z,h0,h,a,,z,2222x,y,z,a的顶部(图13-16222z,a,x,y解:曲面的方程为,它在坐标面上的投影为圆形的闭区域:,xoy2222(x,y,a,ha22,,,,1zzxy222,,axy所以dSa,dxdy,,,,222zaxy,,,Dxy利用极坐标计算上面的积分,得到222,ah,dSardrdardrd,,,,d,2222,,,,,,00zarar,,,Dxy22ah,a1,,22,,,,aara2ln2ln,,,,,,h2,,0dSx,y,z,1,,其中曲面是由平面以及三个2,,,,1,x,y,坐标面所围成的四面体的表面(3图13-17解:如上图,曲面由曲面组成,其中分别是平面,,,,,,,,,,,,,,,12341234x,y,z,1x,0,y