文档介绍：第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
基础梳理
1. 直线与圆的位置关系判断方法
(1)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆半径为r,若直线与圆相离,则________;若直线与圆相切,则________;若直线与圆相交,则________.
(2)代数法:将直线与圆的方程联立,若D>0,则________;若D=0,则____________;若D<0,则直线与圆相离.
2. 两圆的位置关系
(1)设两圆半径分别为R,r(R>r),圆心距为d.
若两圆相外离,则________,公切线条数为____;
若两圆相外切,则________,公切线条数为____;
若两圆相交,则____________,公切线条数为____;
若两圆内切,则________,公切线条数为____;
若两圆内含,则________,公切线条数为____.
(2) 设两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程是______________.
3. 已知切点为P(x0,y0),则圆x2+y2=r2的切线方程为__________.
4. 圆系方程
(1)以点C(x0,y0)为圆心的圆系方程为_______________________;
(2)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l:ax+by+c=0的交点的圆系方程为______________;
(3)过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为____________________________(不表示圆C2).
答案:
1. (1)d>r d=r d<r (2)直线与圆相交直线与圆相切
2. (1)d>R+r 4 d=R+r 3 R-r<d<R+r 2 d=R-r 1 d<R-r 0
(2)(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
3. x0x+y0y=r2
4. (1)(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)
(2)x2+y2+Dx+Ey+F+l(ax+by+c)=0
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
基础达标
1. (2011·湛江模拟)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
2. (教材改编题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ,则实数a的值为( )
A. -1或 B. 1或3 C. -2或6 D. 0或4
3. (教材改编题)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交
C. 外切 D. 内切
4. 直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的最近距离是( )
A. 2 B. -1 -1
5. 过圆C1:(x-4)2+(y-5)2=10与圆C2:(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方程为__________________.
答案:
1. B 解析:圆心(0,0)到直线y=x+1,即x-y+1=0的距离d= = ,而0<<1,故选B.
2. D 解析:由题意知,d= = ,即|a-2|=2,解得a=4或a=0.
3. B 解析:由圆O1:x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1,故圆心O1(1,0),半径r=1;
由圆O2:x2+y2-4y=0得x2+(y-2)2=4,故圆心O2(0,2),半径R=2;
因为R-r=2-1<|O1O2|= = <1+2=r+R,两圆相交,故选B.
4. C 解析:圆心坐标为(-2,1),则圆心到直线y=x-1的距离为 d= =2 >1=r,故最近距离是2 -1.
5. 6x-2y+5=0 解析:联立两圆方程两式相减得
12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0,
所以所求的直线方程为6x-2y+5=0.
题型一直线与圆的位置关系
【例1】直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2 ,则k的取值范围是( )
经典例题
解:由圆的方程知圆心为(3,2),圆心到y=kx+3的距离d= ,且r=2,
|MN|2=r2-d2=4- 2≥3,
化简得4k2+3k≤0,解得- ≤k≤0,故选A.
变式1-1
直线 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( )
答案:C
解析:化为圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,因为直线与圆相切,所以圆心(1,0)到直线的距离等于半径,即= ,即| +m|=2 ,所以m= 或m=-3 ,故选C.