文档介绍：第四讲一元函数微分学中的基本定理及其应用
一、知识网络图
拐点
二、重点考核点
这部分的重点是:
①罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用.
②利用导数研究函数的性态(函数为常数,单调性与极值点,凹凸性与拐点,渐近线).
③最值问题及应用题.
④利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数,证明函数不等式等.
§1 一元函数微分学中的基本定理——中值定理
费马定理:设f(x)在x = x0取极值,存在
罗尔定理:设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且.
【例1】设f(x)在(a,b)可导且a<x1<x2<b,则至少存在一点c使( )成立.
(A)
(B)
(C)
(D)
【例2】回答问题:设f(x)在[a,b]有连续的一阶导数且,又f(x)在(a,b)二
阶可导,是否存在,为什么?
【分析】
【例3】设f(x)在x = x0连续,在()除x0点可导且
,求证:.
【分析与证明】
§2 微分中值定理的应用——利用导数研究函数的变化
(1)函数的单调性的充要判别法.
设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,则
f(x)在[a,b]单调不减(单调不增).
f(x)在[a,b]单调增加(单调减少),
2°在(a,b)的子区间上 0.
(2)函数取极值的充分判别法.
设f(x)在x = x0连续,在可导,当时>0(<0).
时<0(>0),则x = x0是f(x)的极大(小)值点.
设=0,>0(<0),则x=x0是f(x)的极小(大)值点.
(1)函数的凹凸性的充要判别法.
设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,f(x)在[a,b]是凸(凹)的:
(>)
(曲线y = f(x)(a<x<b)在点处的切线除该点外总在曲线的上方(下方)).在(a,b)是单调减(增)函数.
设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶可导,则f(x)在[a,b]是凸(凹)的≤0(≥0),,又在(a,b)的子区间上 0.
(2)拐点的充分判别法与必要条件.
设f(x)在x0邻域连续,在x = x0两侧凹凸性相反,称(x0,f(x0))是曲线y = f(x)的拐点.
充分判别法
1°设f(x)在x = x0邻域连续,在x = x0空心邻域二阶可导,且在x = x0两侧变号,则(x0,f(x0))为y = f(x)的拐点.
2°=0,,则(x0,f(x0))为y = f(x)的拐点.
必要条件
设(x0,f(x0))为y = f(x)的拐点,则= 0或不存在.
【例1】设f(x)在[0,1]上>0,则( )成立.
(A)>> (B)>->
(C)->> (D)>->
【例2】设恒正可导且<0,则当a<x<b时有
(A)> (B)>
(C)> (D)>
【例3】设f(x)在x = 0某邻域连续且f(0) = 0,,则f(x)在x = 0处( ).
(A)不可导(B)可导且0
(C)有极大值(D)有极小值
【例4】设f(x)有二阶连续导数, = 0,,则( )成立.
(A)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))不是y = f(x)的拐点
(B)f(0)是f(x)的极大值
(C)f(0)是f(x)的极小值
(D)(0,f(0))是y = f(x)的拐点
【例5】设f(x)满足且= 0则
(A)f(0)是f(x)的极大值
(B)f(0)是f(x)的极小值
(C)点(0,f(0))是y = f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是y = f(x)的拐点.
设f(x)在(a,b)可导,求证:在(a,b)为减函数Û
f(x)<f(x0) + (x-x0),.
【分析与证明】(1)设在(a,b)为减函数,Þf(x)-[f(x0) +] = <0(),其中由微分中值定理知,在x与x0之间,f(x)
-
f(x0) = .
(2)设对,f(x)<f(x0) + .现对<x2
x1,x2,有
f(x1)<f(x2) +
f(x2)<f(x1) +
兩式相加得>0Þ>,即在(a,b)为减函数.
【例7】求y = (x + 6)的单调性区间,极值点,凹凸性区间,拐点与渐近线.
【解】1)定义域x≠0,间断点x = 0.
2)
由.
单调增区间:(-¥,-2],[3,+ ¥);单调减区间[-2,0),(0,3].
极大值点x = -2,极