文档介绍：用配极方法作直线与圆锥曲线的交点
邱东华
《几何画板》是一款非常优秀的教学软件,在中学数学教学演示中的表现非常的出色。但是用《几何画板》并不能直接作出直线与圆锥曲线的交点,这一问题常使教师在制作课件时犯难——怎样才能作出直线与圆锥曲线的交点呢?本文介绍用“配极”的方法来解决这一问题。
1 极点与极线定义
定义1:给定二阶曲线C,点P(不在C上),过点P作直线与曲线C交于M1、M2,如果Q是直线PM1上—点且使交比(PQ,M1M2)=(PM1/QM1)(QM2/PM2)= -1(式均为有向线段),则称P与Q关于二阶曲线C调和共轭或称点P与点Q关于C互为调和共轭点。
性质1:一定点P关于一个二阶曲线C的调和共轭点的轨迹是一条直线,称为点P的极线,点P则称为这条直线的极点。
2 配极变换
定义2:射影平面上给定一条二阶曲线C,那么在此平面上任给一点P,就有一条直线p(点P关于曲线C的极线)和它对应;反之,任给一条直线p,就有一点P(直线p关于曲线C的极点)和它对应,这种对应称为关于二次曲线C的配极变换。
性质2:若点P的极线通过点Q,那么,点Q的极线也通过点P。
性质3:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;共线点的极线共点,共点线的极点共线。.
性质4:一条二阶曲线C关于一条非退化二阶曲线Γ的配极图形是一条二级曲线;一条二阶曲线C关于一条非退化二阶曲线Γ的配极图形是一条二阶曲线。
3 极点与极线作图
如图1,P为不在圆锥曲线C上的点,过点P引两条割线交圆锥曲线C于四点E、F、G、H,连接EH、FG交于N,连接EG、FH交于M,则MN为点户对应的极线。同理,PN为点M对应的极线,PM为点N对应的极线,PMN称为自极三点形。若连接MN交圆锥曲线于A、B点,则PA,PB恰为C的两条切线。
若P为曲线C上的点,则过点P的切线即为P点的极线。
如果曲线C是圆(如图2),圆心为O,则点P、O的连线OP与P的极线AB垂直,设垂足为Q,由射影定理有OM2=OA2=OQ·OP,
又因为(PQ,MN)=(PM/QM)(QN/PN)= -1
Û PM·QN+QM·PN=0
Û (OM—OP)(ON—OQ)+(OM—OQ)(ON—OP)=0
Û (OM—OP)( —OM—OQ)+(OM—OQ)( —OM—OP)=0
OM2=OP·OQ
因此,Q是P关于圆O的调和共轭点。
又由于OA2=OQ·OP,
所以OQ=(OA2/OP2)OP或OP=(OA2/OQ2)OQ。
事实上这也给出了关于圆的配极作图的又一方法-
4 点对圆的配极
给出圆和一定点,作出定点对此圆的调和共轭点及配极直线。作法如下:
①给定点A、点B,点C,以点A为圆心,过点B作圆A;
②选取点B、点A,测量距离[m1],选取点A及点C,测量距离[m2];
③计算[m1]2/[m2]2,产生[m3];
④以点A为缩放中心,标记[m3]为缩放比,将点C作伸缩变换,产生点D,则点D就是点C关于圆A的调和共轭点;
⑤过点D作直线AC的垂线l,则直线l就是点C对此圆的配极直线,同理,过点C作直线AC的垂线就是点D的极线。
5 线对圆的配极
作出直线对圆的配极点,作法如下:
①给定点A、点B,点C、点D,以点A为圆心,过点B作圆A,画直线CD;
②过点A作直线CD的垂线k,垂线k与直线CD相交于点E;
③用“点对圆的配极”中的方法作出点E关于圆A的调和共轭点F,点F就是直线CD关于圆A的配极点。
6作直线与椭圆或双曲线的交点
设圆F的圆心是圆锥曲线C的一个焦点,则此圆锥曲线C的所有切线对圆F的配极点形成一个圆F’。反之,圆F'的所有切线对圆F的配极点形成该圆锥曲线C。由此,可得作直线与椭圆或双曲线的交点的基本思路:将椭圆或双曲线的切线对圆F作配极形成圆F',将直线l对圆F作配极,产生点P,过点P对圆F’作切线,再将切线对圆F作配极点,则所作配极点在椭圆或双曲线上,又因为切线过直线l的极点P,所以所作配极点也在点P对应直线l上,因此,:
①给定点A,点B(比如使AB=5cm)、点C,以A为圆心,过点B作圆A,在圆A上任取一点D,作线段CD的垂直平分线k1与直线AD的交点,再作出此交点的轨迹,得椭圆或双曲线(点C在圆A内为椭圆,点C在圆A外为双曲线),任作一直线PQ;
②以点C为圆心,任意长(比如2cm)为半径作圆C;选取点D绕圆心A旋转120度,产生点D’,再将点D'绕A旋转120度,产生点D''(亦可在圆A上任取D'、D''二点);
③画线段D'C、线段D''C,并分别作它们的中垂线k