文档介绍：1. 均值不等式法例1设Sn1223n(n1).求证n(n1)Sn(n1)(x)1,若f(1)4,且f(x)在[0,1]上的最小值为1,求证:1a2bx52f(1)f(2)f(n)(n1,nN).例4已知a2a2a21,x2x2x21,求证:a1x1a2x2anxn≤(11)(11)(11)(11)(x)lg12x3x(n1)xanx,0a1,给定nN,:f(2x)2f(x)(x0)对任意nN且n2恒成立。例7已知a11,an1(121)(I)用数学归纳法证明an2(n2);(II)对ln(1x)x对x0都成立,证明ane2()例8已知不等式1111[log2n],nN,n2。[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设正数数列23n2{an}满足:a1b(b0),annan1,,[log2n]再如:设函数f(x)exx。f(x)最小值;(Ⅱ)求证:对于任意nNn(k)ne.(Ⅰ)求函数,有k1ne1例9设an(11)n,求证:数列{an},a2,求证:an例11设数列an满足an1an2nan1nN,当a13时证明对所有n1,有:(i)ann2;(ii),nN,求证(2)n(n82).31)(n例13设数列{an}满足a12,an1an1(n1,2,).证明a2n1对一切正整数n成立;ann5利用单调性放缩:构造函数例14已知函数f(x)ax3x2的最大值不大于1,又当x[1,1]时f(x)(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设0a11,an1f(an),nN,:x1a0,xn11xna,(I)证明:对n2总有xna;(II)证明:(nN,n2).n1例17设a1,n2,nN,求证ann2(a1),定义a11a,an1a,求证:,{an}满足:a1=3,且an=3nan-1(n2,nN)22an-1+n-1(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n有a1a2⋯⋯an2n!8. 分项讨论例21已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn2an(1)n,n1.(Ⅰ)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)证明:对任意的整数m4,(Ⅰ)设函数f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0x1),求f(x)的最小值;(Ⅱ)设正数p1,p2,p3,,pn满足p1p2p3pn1,求证:22p1log2p1p2log2p2p3log2p3p2nlog2p2nn构造辅助函数法例23已知f(x)=34x2xln2,数列an满足1a10,21an1fannN*2(1)求f(x)在10(2)证明:1an0;,上的最大值和最小值;22(3)判断an与an1(nN)的大小,{a}的首项33an,n12,,.a1,an1n52an1(Ⅰ)求{an}的通项公式;x0,an≥112,n12,,;(Ⅱ)证明:对任意的1x2nx(1x)3(Ⅲ)证明:(x)=x2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*).(Ⅰ)用xn表示xn+1;(Ⅱ)求使不等式xn1xn对一切正整数n都成立的充要条件,并说明理由;(Ⅲ)若x1=2,求证:(k1),k1,2,,(k1)kk11解析2k,2nkSnn(k1),即n(n1)Snn(n1)n(n1)(k1)k1则注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab,若放成2n(n1)(n3)(n1)2得Sn(k1)22,就放过“度”了!k1②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里nna1ana1ana12an2,其中,n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。11nna1an2[简析]4x11111f(x)14x114x122x(x0)f(1)f(n)(122)(1222)(