文档介绍：1第二章插值法计算方法2插值法?许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系?但函数表达式无法给出,只有通过实验或观测得到的数据表?如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值?例:已测得在某处海洋不同深度处的水温如下:深度(M) 466 741 950 1422 1634水温(oC) ,希望合理地估计出其它深度(如500、600、800米…)处的水温。为什么要插值3插值基本概念已知函数y = f(x)在[a, b]上有定义,且已经测得在点a ?x0< x1< ···< xn?b 处的函数值为y0= f(x0),…,yn= f(xn)什么是插值如果存在一个简单易算的函数P(x),使得P(xi) = f(xi),i = 0, 1, ... , n则称P(x)为f(x)的插值函数插值区间插值节点求插值函数P(x)的方法就称为插值法插值节点无需递增排列,但必须确保互不相同!插值条件4常用插值法x0x1x2x3x4x?多项式插值:P(x) 为多项式函数--- 最常用的插值函数?分段插值:P(x) 为分段多项式函数?三角插值:P(x) 为三角函数……P(x) 常用插值法5多项式插值多项式插值已知函数y = f(x)在[a, b]上n+ 1个点a ?x0< x1< ···< xn?b 处的函数值为y0= f(x0),…,yn= f(xn)求次数不超过n的多项式P(x) = c0+c1x + ···+ cnxn,使得P(xi) = yi,i = 0, 1, ... , n满足上述条件的多项式存在且唯一定理证明:利用Vandermonde行列式即可证明过程给出了一种求P(x)的方法,但较复杂,一般不用!P(x) 的次数可能小于n6基函数插值法基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法Zn(x)= {次数不超过n的多项式的全体}记n+1 维线性空间设z0(x), z1(x), ... , zn(x)构成Zn(x)的一组基,则插值多项式P(x) = a0z0(x) + a1z1(x)+ ···+ anzn(x)①寻找合适的基函数②确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤7Lagrange插值Lagrange插值基函数设lk(x)是n次多项式,在插值节点x0 , x1 , …, xn上满足1,( )0,k jj kl xj k??????则称lk(x)为节点x0 , x1 , …, xn上的拉格朗日插值基函数8Lagrange插值l0(x), l1(x), …, ln(x)构成Zn(x)的一组基性质注意l0(x), l1(x), …, ln(x)与插值节点有关,但与函数f(x) 无关lk(x)的表达式0 1 100,1 1( )( ) ( )( ) ()( ) ( )( )( )L LL Lk k nk k kknjj j kk jk k k nl xx xx xx x x x x x x xx x x x x x x x? ??? ??? ??????? ?????由构造法可得9Lagrange插值如何用Lagrange基函数求P(x) P(x) = a0l0(x) + a1l1(x)+ ···+ anln(x)将P(xi) = yi ,i = 0, 1, ... , n代入,可得ai = yi,i = 0, 1, ... , nP(x) = y0l0(x) + y1l1(x)+ ···+ ynln(x)( )nL xLagrange插值多项式00,0( ) ( )nn j jjnnkjk k jjj kL x y l xx xyx x?? ?????????10线性与抛物线插值两种特殊情形n=1011 0 0 1 1 0 10 1 1 0( ) ( ) ( )x xx xL x y l x y l x y yx x x x??? ???? ?线性插值多项式(一次插值多项式)n=20 2 0 11 20