文档介绍：(2008)12—3067—⑥,祝令江姚炳学王莉(聊城大学东昌学院,数学科学学院,数学科学学院,聊城252059)摘要简单介绍了幂群的性质,重点探讨了幂群的结构,在幂群的构造方面做了较为深入的研究。关键词幂群正规幂群一致幂群拟商群中图法分类号O152;文献标志码A李洪兴教授等?首先提出了幂群的概念,开创了超代数结构的研究,。1幂群的概念及简单性质总假定G为一个群,其单位元为e,令P。(G)=P(v)/{}。其中Po(G)为群G的幂集,即群G的所有非空子集构成的集合,在P0(G)中定义运算AB垒(abIa∈∈B),VA,BEPo(G)()特别地记{0)B垒aB,A{6)垒A6。定义1l1]令c尸0(G)为G的一个非空子集族,它若关于运算()式做成群,则称为群G上的一个幂群。其单位元记为E,中元素A的逆元记为A~,并记A‘’垒{一I∈A)为A的逆集,显然其单位元为G的幂等子半群。定理1l1设为G群的幂群,则对任意的A∈有IAI=IEI。2008年2月25日收到教育部科技研究重点项目(206089)资助第一作者简介:王开宝(1978一),男,硕士研究生。证明取a∈A,则A=AEaE,所以IAIIAEI≥IaEI:IEI。再取b∈A~,则E=A-1A6A故IEI=IA-1AI≥I6AI=IAI,所以IAI=IEI。定理2设为群G上的幂群,则对任意的A,B∈,当AnB≠时,IAnBI=IEI。证明显然lAnBl≤lAl=lEl,设a∈AnB,则a∈A,a∈B,因此aEAE=A,aEBEB,即aEAnB,所以IEI=IaEI≤IAnBI,故IAnBI=IEI。推论1为群G上的幂群,若A∈为有限集,则VB∈为有限集,并且当An≠时,A=B。定理3设为G群上的幂群,则‘-1)={A(’IA∈)也是群G上的幂群,且与’同构。证明对任意A‘-1,B‘∈‘-1,即A,B∈,由于为幂群,因此,A~∈,所以A‘B‘=(鲋)‘-1)∈‘一”,(A‘一B‘一=(BA)‘一可证明)(A)卜∈卜¨。显然E卜是卜的单位元,(A)‘’是A‘逆元故‘一也是G上的幂群。作映射:_+‘,A_一+A)=(A一)(-1)VA维普资讯 8科学技术与工程8卷∈,易证,为到‘的同构映射,故与‘同构。注:实际上与‘之间也存在反同构映射,:‘A_÷)=A‘yA∈,故与‘-1也是反同构的(B)=,(B))。2幂群的结构定义2设为G上的幂群,E为的单位元,若e∈E,则称是的G正则幂群。若E为的G子群,这时称为的G一致幂群。显然是一致幂群时,一定是正则幂群。定理4若是有限群上G的幂群,则一定是致幂群。易证。定理5若是群G上的幂群,如果的单位元E中每个元素的阶有限,则是一致幂群。证明E为的G子半群,V∈E,设II=irl,当irl,=2时,一=∈E;当irl,>2时,一=一∈E=E,所以E为的G子群,故为的G一致幂群。定义3设是群上G的幂群,对YA∈,A:f口∈AI口~∈A)称为A的核,而称A=f口∈GIaE=A)