文档介绍：最优控制实验报告二零一五年一月目录第1章一级倒立摆实验 ∞状态调节器仿真 ∞状态调节器实验 ∞输出调节器仿真 ∞输出调节器实验 16第2章二级倒立摆实验 ∞状态调节器仿真 ∞状态调节器实验 ∞输出调节器仿真 ∞输出调节器实验 24一级倒立摆实验一级倒立摆动力学建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示图1;;;;·m2;摆杆与垂直向上方向的夹角,规定角度逆时针方向为正;x小车运动位移,规定向右为正。一级倒立摆非线性模型建立采用拉格朗日方法,系统的拉格朗日方程为: ()其中,L为拉格朗日算子,q为系统的广义坐标,T为系统的动能,V为系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标和L表示为: ()为系统沿该广义坐标方向上的外力,在本系统中,系统的两个广义坐标分别为和。系统动能: ()系统的势能()由于在广义坐标上应用拉格朗日方程,由于此广义坐标上无广义力,则()得到: ()在simulink中建立非线性仿真动力学模型图12一级倒立摆非线性动力学模型其中MATLABFunction模块中代码如下:functiondw=fcn(u,phi)I=;m=;l=;g=;dw=(m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi))/(I+m*l*l);一级倒立摆线性模型建立由,且对于质量均匀分布的摆杆有,将代入有()将其在平衡位置处进行线性化,,且有得到()输入,将系统写为如下状态空间描述形式()在simulink中建立线性仿真动力学模型,=*phi+3*u;一级倒立摆t∞状态调节器仿真对于线性定常系统的状态方程为()给定初始条件,终端时间。求最优控制使系统的二次型性能指标()取极小值。式中 ——常数矩阵; ——半正定对称阵; ——正定对称矩阵。控制不受约束,最优控制存在且唯一,即()式中,为维正定常数矩阵,满足里卡提矩阵代数方程()对于线性定常系统无限时间状态调节器问题,要求系统完全能控。求解出上方程,即可得到最优控制。试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统,其中系数矩阵为;;;公式中选定不同的Q,R值,Q4×4为半正定矩阵,R1×1为正定矩阵,通过求解代数黎卡提方程(利用Matlab里面的lqr函数)可以得到最优控系数()控制率为()Q、R的形式可设计为()因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值,故只需改变Q矩阵中元素的值即可,不用改变R的取值,即只要保证Q与R的相对大小即可。其中,Q矩阵中Q11代表小车位置的权重,Q22代表小车速度的权重,Q33代表摆杆角度的权重,Q44为摆杆角速度的权重。仿真实验模型如下图13仿真实验模型设定角度初始值为10°,角速度与小车速度初值均为0。下面按照一定的依据选取Q中非零元素的值进行仿真实验,并进行分析。取一组标准值方便对比Q11=Q22=Q33=Q44=2。响应曲线如下图,在后续研究中,若无特殊说明Q中元素分别取此标准值。考虑到实际系统中小车轨道长度有限,,这在实际系统中是难以正常进行试验的,所以要对参数进行调整改进,下面分别研究各个参数变化时对系统响应的影响。图14Q11=Q22=Q33=Q44=2时角度与位置变化曲线分析小车位置的权重对于响应曲线的影响。其他参数不变的情况下,小车位置权重Q11分别取为2、20、200、1000时观察角度与位置变化曲线如图11图15所示。图15位置权重对响应的影响由图15可以看出,随着Q11的增加,角度变化曲线的稳态时间缩短,但超调量有所增大;位置变化曲线特性改进明显,稳态时间与绝对的超调值都显