文档介绍：第二篇新视角与基本思考策略※新视角易有新发现,帮助开辟新途径;※基本思考策略是认识规律的具体化,它是解数学题的“最大、最高技巧”。关节七从变换视角提高识图与构图的眼力思考与解决几何图形的问题,主要是借助基本图形的性质(定义,定理等)和图形之间的关系。从关节四我们已经知道,许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”,而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也是同样具有“变换”形式的联系。本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样,和相互间的位置没有直接关系,但是,在同一个问题中涉及到的两个全等三角形,绝大多数都有一定的位置关系,或成轴对成关系,或成平移关系,或成旋转的关系(包括中心对称)。这样,在解决具体的几何图形问题时,图形本身所显示或暗示的“变换特征”,对我们识别出、构造出基本图形和图形关系(如全等三角形),有着极为重要的启发和引导的作用。解决图形问题的能力,核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系,而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力。一、从“轴对称”视角识别图形与构造图形1、当题目的基本背景是轴对称图形时(1)当背景图形是基本的轴对称图形时等腰三角形(包括等边三角形)、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形,有关这些图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的。这时,相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径。例1如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,P为梯形ABCD外一点,PA,PD分别交线段BC于点E,F且PA=PD。(1)写出图中三对你认为全等的三角形(不再添加辅助线)(2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。【观察与思考】注意到点P向AD所作的垂线,既是等腰梯形ABCD的对称轴,也是等腰三角形PAD的对称轴,即整个图形是该垂线为轴对称的。因此,凡是是此直线(虽然没有明确地画出来)为对称的两个三角形,都必然是全等的。解:(1)①∆ABP≅∆DCP;②∆ABE≅∆DCF;③∆BEP≅∆CFP;④∆BFPP(2)下面就∆ABP≅∆DCP;给出证明。AD//BC,AB=DC,∴∠BAD=∠CDA。C又PA=PD,即∆PAD为等腰三角形,∴∠PAD=∠PDA。在∆ABP和∆DCP中,-1-PA=PD,AB=DC,∠BAP=∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA=∠CDP,所以∆ABP≅∆DCP。【说明】可以看出,在证明两个轴对称的三角形全等时,用轴对称的方式寻找和叙述全等的理由,既规则有序,又简捷易行。(2)当背景图形是复合式的轴对称图形时有的题目,背景图形比较复杂些,但它仍是轴对称图形,这时对问题解决的思考,也要特别注意从这一轴对称性入手。例2已知,如图(1),Rt∆ABC≅Rt∆ADE,∠ABC=∠ADE=90︒。试以图中标有字母的点为端点,连结出两条新的线段,如果你连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种,那么请你把它写出来并证明。【观察与思考】容易看到并推知:整个的图形是以A,F两点所在的直线为轴对称的,其中,D和B,C和E分别为对称点,连结出所有可连结的线段,如图(1`),并设AF和BD交于点M,和EC交于点N,根据轴对称的性质可知有:①DC=BE;②AF⊥DB,AF⊥CE;③DB//CECE1)解:如图(1`),连结DB,DC,BE,CE,连结AF交DB于点M,并延长交CE于点N,有结论:DC=BE,AF⊥DB,AF⊥CE,DB//CE。证明如下:Rt∆ABC≅Rt∆ADE,∴在∆ADC和∆ABE中,AD=AB,AC=AE,∠CAD=∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB=∠BAE。∴∆ADC≅∆ABE,∴DC=BE,∠ACD=∠AEB。在∆DCF和∆BEF中DC=BE,∠DFC=∠BFE,∠DCF=∠ACB-∠ACD=∠AED-∠AEB=∠BEF。∴∆DCF≅∆BEF,∴FD=FB,FC=FE。AD=AB,FD=FB,∴AF为DB的垂直平分线,当然有AF⊥DB,)CNE与上同理,可推得CE⊥AN(即AF⊥CE),∴DB//CE。【说明】正是把握住了本题背景图形的轴对称这一核心特征,使我们对问题有了最本质的认识,而后的诸项问题,都沿这一核心特征被发现和解决。(3)沿着背景图形的轴对称性寻找需要添加的辅助线当题目的背景图形是轴对称图形时,如果需要作辅助线才能解决,那么辅助线的作法也往往是为了更好地揭示和利用这种轴对称性。例3已知,如图(1),在梯形ABCD中,AD//BC,E为梯形内一点,且有EA=ED,EB=EC。求证:四边形ABCD是等腰梯形【观察与思考】根据图形所给的条件,可以知道整个图形应是轴对称图形,其对称轴就是过点E且和AD垂直的直线,因此,以这条对称轴为辅线,通过具有轴对称位置